Площадь фигуры зная кривизну в каждой точке.

[profilescit]

Дана поверхность вращения определенной кривой.
Мы знаем что $r = \frac{a}{\cos^2{(\theta)}}, a > 0$ где $r$ это радиус кривизны, а $\theta$ это угол между касательной к кривой и прямой линией соединяющей концы этой кривой. При этом, допускаем что мы знаем краевые значения этого угла.

Помогите узнать чему равна площадь данной поверхности, а по возможности и объём тела.

[ИСН]

Площадь, вращение, тело - это всё дым и зеркала. Этого не нужно. Запишите диффур, найдите, что за кривая. (Это катеноида на самом деле.) Дальше просто.

[profilescit]

ИСН спасибо, все проще чем я думал.

Пусть кривая задана зависимостью $y(x)$. Тогда радиус кривизны будет $r = \frac{(1+y'^{2})^{3/2}}{y''}$

С другой стороны $r = \frac{a}{\cos^2{\theta}} = a (1+y'^2)^{1/2}$

Пусть $y' = z$ тогда получим $a z' = (1+z^2)^{1/2}$
Решая, получим что $x = a \sinh^{-1}{z}$ или же другими словами $y = a \cosh{x/a}$