Доказать утверждение с векторами

[KirDeg]

Столкнулся с задачей на доказательство, которую никак не могу решить. То есть само утверждение кажется тривиальным и простым, а придумать формальное доказательство (т.е. от противного, используя закон контрапозиции и тд.) не получается.

Задача: Из одной точки пространства отложены три вектора $a, b, c$. Доказать, что конец вектора $c$ тогда и только тогда лежит на отрезке, соединяющем концы вектора $a$ и $b$, когда выполнено равенство $c = ma+nb$, где $m \geqslant 0, n \geqslant 0, m+n = 1$. И в каком отношении конец вектора $с$ делит этот вектор?

Из задачи понятно, что если подставить условие $m+n = 1$, в лин. комбинацию вектора $c$, то получится уравнение $a+n(b-a)$, которое и задает точки на отрезке между векторами $a$ и $b$.

[arseniiv]

Что будет в формальном доказательстве, зависит от того, какие приняты определения — например отрезка. Если это школьная синтетическая геометрия, то может выйти нууудная и малополезная формализация, а если например это линейная алгебра, где добавили определение для отрезка, то скорее всего доказательство станет просто тривиальным. Так что интересно, какой контекст, что авторы задачи посчитали её полезной.

[KirDeg]

arseniiv в сообщении #1507076 писал(а):

Что будет в формальном доказательстве, зависит от того, какие приняты определения — например отрезка. Если это школьная синтетическая геометрия, то может выйти нууудная и малополезная формализация, а если например это линейная алгебра, где добавили определение для отрезка, то скорее всего доказательство станет просто тривиальным. Так что интересно, какой контекст, что авторы задачи посчитали её полезной.

Это задача 1.12 из задачника по Лин.Алгебре Беклемишева. Я так понимаю, что в ней надо показать, что никакие другие вектора не лежат на этом отрезке.

[arseniiv]

[Дописано к предыдущему посту.]
(То есть если мы берём условный курс аффинной геометрии, там скорее всего отрезок $[A; B]$ будет определяться как множество $\{ m A + n B : m + n = 1, m \geqslant 0, n \geqslant 0 \}$ — прям как у вас спрашивается в задаче. На худой конец, как множество $\{ A + m \overrightarrow{A B} : m \in [0; 1] \}$, но такое определение не совсем хорошо видимой несимметричностью. Впрочем, могут быть и более описательные определения, например какое-нибудь «единственное ограниченное пересечение лучей, исходящих из $A$ и из $B$, лежащих на прямой $AB$» — вот тут уже будет совсем немного нетривиального доказательства, но потребуется определить ограниченность без связи с метрикой, которой в аффинном пространстве над упорядоченным полем (упорядоченность вот точно нужна, иначе мы сможем рисовать только прямые) быть не обязательно — например как вхождение в какой-нибудь симплекс.)

KirDeg в сообщении #1507077 писал(а):

Это задача 1.12 из задачника по Лин.Алгебре Беклемишева. Я так понимаю, что в ней надо показать, что никакие другие вектора не лежат на этом отрезке.

Хм, хорошо, ну у меня его сейчас нет под рукой, может кто-то лучше с ним знаком; всё-таки было бы хорошо знать, что там говорится про отрезки где-нибудь рядом, если найдётся и несложно выписать…

Пока всё в точности не ясно, можно попробовать показать, что если на этом отрезке лежит что-то ещё, то получится как минимум треугольник, но по-моему ерунда выходит. Можно показать, что он лежит целиком на прямой $AB$, но вроде там особо нечего показывать, т. к. по условию линейная комбинация — аффинная, ровно такая, какими задают аффинные подпространства. Останется разве что показать одномерность.

-- Пн мар 01, 2021 04:07:32 --

А, но и ещё ведь осталась интересная задача: в каком отношении точка $c$ делит $[a; b]$. Опять же это зависит от определений, но возьмём например такое: отрезки $[S_1; S_2]$ и $[T_1; T_2]$ параллельны ровно тогда, когда найдутся числа $m, n$ такие, что $m \overrightarrow{S_1 S_2} = n \overrightarrow{T_1 T_2}$, и имеют в таком случае отношение длин $|S_1 S_2| : |T_1 T_2| = |n| : |m|$ (справа модули чисел). Тогда всё просто получится.

[svv]

KirDeg в сообщении #1507077 писал(а):

Я так понимаю, что в ней надо показать, что никакие другие вектора не лежат на этом отрезке.

Пусть точка $C$ лежит на отрезке $AB$ (где $A,B,C$ — концы векторов $a,b,c$, отложенных от общей точки $O$).

Можете считать очевидным, что тогда векторы $\overrightarrow{AC}=c-a$ и $\overrightarrow{CB}=b-c$ коллинеарны и, более того, сонаправлены вектору $\overrightarrow{AB}=b-a$.

(Я предварительно заглянул в Беклемишева и оценил, какие исходные положения он обычно считает очевидными.)

[arseniiv]

О, это неплохо как определение, вроде и синтетическо выглядит, и не совсем тривиально переводится в «выпуклая аффинная комбинация двух точек».

-- Пн мар 01, 2021 04:40:19 --

(Оффтоп)

svv, вы неизменно пишете что-нибудь замечательное, по-моему давно никто этого не говорил, хотя вы наверно и сами это знаете, но всё равно. Каждый раз приятно читать.