Кинематика твердого тела

[bataille]

Задача
Стержень длиной $l$ скользит своими концами по направляющим, составляющим между собой прямой угол. В некоторый момент времени скорость одного из концов стержня равна $v$, а угол между стержнем и направляющей по которой скользит другой конец стержня, равен $\theta$. На каком расстоянии от первого конца стержня находится точка, движущаяся с минимальной скоростью, и чему равна эта скорость?

Часть решения
Пусть, для определенности, со скоростью $v$ движется верхняя точка стержня. Рассмотрим точку (назовем её $M$) на расстоянии $a$ от верхней, движущуюся со скоростью $u$. Из нерастяжимости стержня следует что проекции векторов скоростей верхней точки и точки $M$ на стержень равны, т. е.

$v\cdot\sin\theta=u\cdot\cos\delta(a)$

где $\delta(a)$ $\--$ угол между $\vec{u}$ и стержнем в точке, находящейся на расстоянии $a$ от верхней.Значит,

$u=\frac{v\cdot\sin\theta}{\cos\delta(a)}.$

Очевидно, что $u=u_{\min}$, когда $\cos\delta(a)=1$, т. е.

$u_{\min}=v\cdot\sin\theta$, при некотором значении $a=a_0.$

Остаётся найти это значение $a_{0}$, в чём я испытал трудность.
Мне известно, что точка (назовем её $M_{0}$) на стержне, находящаяся на расстоянии $a_{0}$ от верхнего края движется по эллиптической траектории, т.е. её координаты удовлетворяют уравнению

$\frac{\left(x_{M_{0}\right)^2}}{a^2}+\frac{\left(y_{M_{0}\right)^2}}{(l-a)^2}=1.$

Также я выяснил, что касательная к траектории в точке $M_{0}$ составит угол $\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$c горизонталью. Применить эти знания пока не смог, поэтому был бы благодарен за наводку.

[svv]

При движении твёрдого тела в плоскости, если только оно не движется поступательно (так что векторы мгновенной скорости всех его частичек совпадают), на плоскости есть точка, называемая мгновенный центр вращения тела. Понятно, что эта точка может находиться за пределами твёрдого тела и перемещаться с течением времени.

Если из мгновенного центра вращения провести радиус-вектор к любой частичке тела, окажется, что мгновенная скорость частички перпендикулярна радиус-вектору (либо равна нулю).

Вопрос 1. Где, стало быть, находится этот центр в нашем случае?
Вопрос 2: Допустим, известна мгновенная угловая скорость вращения $\omega$. Как можно узнать линейную скорость движения любой частички тела? (по абс.величине)
Вопрос 3: У каких частичек тела, стало быть, скорость минимальна?

[EUgeneUS]

Ещё теорема Фалеса поможет. Но несколько другой путь решения, чем предлагает уважаемый svv

-- 26.02.2021, 22:53 --

bataille
Кстати, Ваш путь решения несколько похож на мой.

Введем такие оси, совпадающие с направляющими: $Oy$ - вертикальная, $Ox$ - горизонтальная. Дальше, как у Вас: $v$ - скорость конца стержня, скользящего по вертикальной оси, $\theta$ - угол между стержнем и горизонтальной осью.
Выберем на стержне точку $M$, находящуюся на расстоянии $\alpha l$, измеряемом вдоль стержня от верхнего конца.
Какие будут проекции скорости этой точки на оси?

[bataille]

svv в сообщении #1506756 писал(а):

Вопрос 1. Где, стало быть, находится этот центр в нашем случае?
Вопрос 2: Допустим, известна мгновенная угловая скорость вращения $\omega$. Как можно узнать линейную скорость движения любой частички тела? (по абс.величине)
Вопрос 3: У каких частичек тела, стало быть, скорость минимальна?

Ответы на вопросы частично содержатся на картинке, из которой следует, что $\qquad\omega=\frac{v}{\left|O_{1}A\right|}=\frac{v}{l\cos\theta}$.
Тогда

$u_{\min}=\omega\cdot\left|\vec{r}\right|_{\min}=\omega\cdot\left|AM_{0}\right|\tg\theta=\frac{v}{l\cos^{2}\theta}\cdot a_{0}\sin\theta$,

и по уже известному значению $u_{\min}$ заключаем, что

$a_{0}=l\cos^{2}\theta$.

[svv]

Верно! Идею Вы поняли прекрасно, сейчас только формулы проверю.

[bataille]

EUgeneUS в сообщении #1506767 писал(а):

Какие будут проекции скорости этой точки на оси?

$Ox:\qquad v\cdot\frac{\sin\theta\cos\left(\theta+\delta(\alpha l)\right)}{\cos\delta(\alpha l)}$

$Oy:\qquad -v\cdot\frac{\sin\theta\sin\left(\theta-\delta(\alpha l)\right)}{\cos\delta(\alpha l)}$

[svv]

Составим такую комбинацию радиус-векторов: $\mathbf r=(1-\alpha)\mathbf r_1+\alpha\mathbf r_2$, где $\mathbf r_1, \mathbf r_2$ некоторые фиксированные векторы. Ясно, что при изменении $\alpha$ от $0$ до $1$ вектор $\mathbf r$ будет равномерно перемещаться от $\mathbf r_1$ до $\mathbf r_2$. Справедливость этого равенства не зависит от выбора начала отсчёта. Это потому, что сумма коэффициентов $1-\alpha$ и $\alpha$ при векторах равна $1$.Такие линейные комбинации называются барицентрическими.

Пусть известен мгновенный центр вращения и угловая скорость. Тогда скорость любой точки стержня определяется формулой $\mathbf v(\mathbf r)=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r$, где $\mathbf r$ — вектор из центра вращения к точке стержня. Из линейности по $\mathbf r$ следует, что $\mathbf v(\mathbf r)=(1-\alpha)\mathbf v(\mathbf r_1)+\alpha\mathbf v(\mathbf r_2)$.
От угловой скорости избавились. Но и знать мгновенный центр вращения не обязательно: в сумме $\mathbf r=(1-\alpha)\mathbf r_1+\alpha\mathbf r_2$ начало отсчёта можно принять любым, какое удобно.

Теперь с лёгким сердцем откладываем радиус-векторы от точки $O$:
$\mathbf v_M=(1-\alpha)\mathbf v_A+\alpha\mathbf v_B$, если $\overrightarrow{OM}=(1-\alpha)\overrightarrow{OA}+\alpha\overrightarrow{OB}$

[bataille]

svv в сообщении #1506845 писал(а):

Верно! Идею Вы поняли прекрасно, сейчас только формулы проверю.

Спасибо за помощь.

svv в сообщении #1506851 писал(а):

Теперь с лёгким сердцем откладываем радиус-векторы от точки $O$:
$\mathbf v_M=(1-\alpha)\mathbf v_A+\alpha\mathbf v_B$, если $\overrightarrow{OM}=(1-\alpha)\overrightarrow{OA}+\alpha\overrightarrow{OB}$

И тогда, если я правильно понял,

$v_M=\frac{v}{\sin\theta}\left(1-\alpha\right)$,

причем минимум скорости достигается при $\alpha=\cos^{2}\theta$.

[svv]

Да, правильно. Это уже была вариация на тему EUgeneUS.

[EUgeneUS]

svv в сообщении #1506920 писал(а):

Это уже была вариация на тему EUgeneUS.

Раз ТС разобрался, напишу свою схему решения.

$x, y$ - координаты точек концов стержня (у меня обозначения осей обратные, чем у ТС).

1. $x^2 + y^2 = l^2$
2. Продифференцируем по времени:
$x\dot{x} + y\dot{y}=0$
откуда $\dot{x} = - \frac{y}{x} \dot{y} = - \tg \theta v$
3. Координаты произвольной точки на стержне $M$
$x_M = \alpha x$
$y_M = (1-\alpha) y$

4. Проекции скорости точки $M$ на оси
$\dot{x_M} = \alpha \dot{x} = - \alpha \tg \theta v$
$ \dot{y_M} = (1-\alpha) \dot{y} = (1-\alpha) v$

5. Квадрат модуля скорости точки $M$
$v_M^2 = ((1-\alpha)^2 + (\alpha \tg \theta)^2)v^2$

6. Находим $\alpha$, при которой обеспечивается минимум $v_M^2$
всё

[bataille]

svv,EUgeneUS, спасибо за помощь!