Надо сочинить вероятностное распределение типа Пуассона

[Varravann]

В сугубо практической задаче требуется придумать (или вспомнить, но меня клинит) какое-нибудь однопараметрическое непрерывное вероятностное распределение $p_a(x)$ ($x$ - скалярная случайная величина, $a$ - скалярный параметр), удовлетворяющее следующим свойствам:
1) определено при $x\in [0,+\infty]$, $a\in [0,+\infty]$,
2) при $a\to 0$ распределение должно сходиться к $\delta$-функции в нуле: $p_0(x)=\delta(x)$,
3) с ростом $a$ оно должно становиться похожим на нормальное, причем его среднее должно расти пропорционально $a$ (очень желательно, чтобы линейно),
4) $p_a(x)$ должно задаваться разумным аналитическим выражением.

Короче говоря, очень похоже на распределение Пуассона, только непрерывное. Подозреваю, что Пуассон имеет обобщение на непрерывный случай, только я его никак не могу найти. Подскажите, плиз.

[Henrylee]

А экспоненциальное с параметром $1/a$ не подойдет?
Плотность

$$ p(x)=\frac1{a}\,e^{-x/a},\quad x\geqslant 0 $$

Только вот это загадочное свойство

Varravann писал(а):

3) с ростом $a$ оно должно становиться похожим на нормальное,

не понятно. Может имеется в виду унимодальность?

[Varravann]

Henrylee писал(а):

А экспоненциальное с параметром $1/a$ не подойдет?

Не-а. Оно как раз "не похоже на нормальное", т.е. не имеет выраженного "горба" в своем центре и "слабых" "хвостов" в обе стороны. Наверное, это и называется унимодальностью, хотя за время своего обучения в институте я с таким термином не сталкивался (а поэтому трактую его интуитивно).

Собственно, взгляните на графики распределения Пуассона - все станет понятно.

[Someone]

Гамма-распределение не подойдёт?

$$f_{\xi}(x)=\begin{cases}0\text{ при }x\leqslant 0\text{,}\\ \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}\text{ при }x>0\text{,}\end{cases}$$

где $\alpha>0$ и $\lambda>0$. Здесь $M\xi=\frac{\alpha}{\lambda}$, $D\xi=\frac{\alpha}{\lambda^2}$. Скомбинируйте из двух параметров один так, чтобы получить нужное поведение.

[ИСН]

$x^ae^{-x}$?
Upd. Блин. Апять аппередили.

[Varravann]

Someone, спасибо, подходит. Конечно, нормировка через гамма-функцию - это не айс, но что поделаешь...

[PAV]

Можно еще взять нормальное распределение со средним значением $a$ и обрубить его на отрицательной полуоси, нормировав остаток так, чтобы получилась единица. Вы, кстати, не задали, как должна вести себя дисперсия с ростом $a$. Чтобы получить дельта-функцию, нужно, чтобы при $a\to0$ дисперсия также стремилась к нулю.

[Henrylee]

Я чо-то не понял, где там Гамма распределение сходится к $\delta_0$? Если похожесть на нормальное распределение приоритетнее, то так и надо говорить..

А вот урезанное нормальное действительно подходит по всем пунктам.

[Varravann]

Henrylee писал(а):

Я чо-то не понял, где там Гамма распределение сходится к $\delta_0$?

Прибиваем $\lambda$ гвоздем (пусть $\lambda=1$), а $\alpha$ объявляем параметром распределения. Соответственно, при $\alpha\to 0$ имеем $M\xi\to 0$ и $D\xi\to 0$, т.е. "типа дельта-функцию" в нуле.

[Henrylee]

Ну да, эт я поторопился. Сходимость к нулю имеется, поскольку

$$ (1-it)^{-a}\to 1 $$

[ewert]

Там в чём пафос-то. Гамма-распределение -- это обычное распеределение хи-квадрат, но для суммирования квадратов нормальных величин не совсем стандартных, а с перемасштабированием.

Т.е. матожидания этих величин -- по-прежнему ноль, а вот среднеквадратическое отклонение -- не единица, а некоторая сигма.

Так вот. Когда эта сигма равна единице, то и получаем обычный хи-квадрат. Он прекрасно с ростом эн стремится к нормальному, согласно центральной предельной теореме.

Правда, дисперсия при этом к нулю не стремится, да. Однако она того же порядка, что и матожидание. А вот теперь ежели ту сигму пошевелить, то при её уменьшении матожидание уменьшается линейно, в то время как дисперсия -- квадратично, т.е. гораздо быстрее. Ну и естественно, что есть некий диапазон, когда матожидание всё ещё растёт, а вот дисперсия уже уменьшается. Что, собственно, и означает стремление к дельта-функции.