Найти предел

[Коровьев]

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{n = 0}^\infty {\cos ^n \alpha } \cos n\alpha \]

Исправлено по замечаниям Профессор Снэйп и Trotil
Найти сумму

\[ \mathop \sum\limits_{n = 0}^\infty ({\cos ^n \alpha }) (\cos n\alpha) \]

[Профессор Снэйп]

Коровьев писал(а):

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{n = 0}^\infty {\cos ^n \alpha } \cos n\alpha \]

И предел по $n$, и суммирование по $n$. Что-то здесь не то...

[Trotil]

И скобки расставьте на всякий случай

[ИСН]

Записав косинус через комплексную экспоненту, узрим в этом геометрическую прогрессию. Дальше скучно.

[Профессор Снэйп]

ИСН писал(а):

Записав косинус через комплексную экспоненту, узрим в этом геометрическую прогрессию. Дальше скучно.

Ну да. Конечно, случай $|\cos \alpha| =1$ надо рассматривать отдельно. Но это несложно.

[Коровьев]

Скучно, но не совсем...
Результат довольно интересен.

[TOTAL]

Коровьев писал(а):

Скучно, но не совсем...
Результат довольно интересен.

Условие тоже интересно.
Что именно стоит под знаком суммы? Зачем предел, если выражение под ним постоянно?

[bot]

Заинтриговался и посчитал - получилось 1, ну и что?
Ошибся или нет, выяснять скучно.
Само собой, при $|\cos \alpha| \ne 1$

[ИСН]

А я, наоборот, теперь вижу в этой задаче какую-то такую неброскую красоту. Типа того узла, который крутишь, вертишь в руках, а потом потянул - хоп! он развязался, и нет ничего.

[Профессор Снэйп]

bot писал(а):

Заинтриговался и посчитал - получилось 1, ну и что?
Ошибся или нет, выяснять скучно.
Само собой, при $|\cos \alpha| \ne 1$

У меня тоже при $|\cos \alpha| \neq 1$ значение суммы получилось равным $1$.

При $|\cos \alpha| =1$ имеем $\cos n\alpha = \cos^n \alpha$ и

$$ \sum_{n=0}^\infty (\cos^n \alpha)(\cos n\alpha) = +\infty $$

Добавлено спустя 6 минут 44 секунды:

Надо заметить, что в этой задаче есть ещё один небольшой ньюанс.

При $\cos \alpha = 0$ сумма ряда равна первому члену, который, в свою очередь, равен нулю в нулевой степени. Лично я готов голосовать двумя руками за то, что это равно единице (и даже делал уже это зимой в соответствующей теме дискуссионного раздела). Но, возможно, не все с этим согласятся.

[Коровьев]

Профессор Снэйп писал(а):

Надо заметить, что в этой задаче есть ещё один небольшой ньюанс.

При $\cos \alpha = 0$ сумма ряда равна первому члену, который, в свою очередь, равен нулю в нулевой степени. Лично я готов голосовать двумя руками за то, что это равно единице (и даже делал уже это зимой в соответствующей теме дискуссионного раздела). Но, возможно, не все с этим согласятся.

По поводу $0^0$
Я попробовал рассмотреть для двух аналитических функций, обращающихся в нуль при $x=0$, выражение $F(x)^{f(x)}$ при $x$ стремящемся к $0$, и у меня получилась единица

[RIP]

Тоже скажу пару слов по поводу $0^0$. Никаких $0^0$, по-моему, не возникает. Просто в подобных случаях $(\text{что-то})^n\Bigr|_{n=0}$ по определению считается равным 1. То есть ряд $\sum_{n=0}^\infty\cos^n\alpha\cdot\cos n\alpha$ в развёрнутом виде имеет вид
$1+\cos^2\alpha+\cos^2\alpha\cdot\cos2\alpha+\ldots$.
А $0^0$ само по себе, в отрыве от какого либо контекста, не определено, имхо.

[Kid Kool]

$0^0$ можно рассматривать как предел $x^x$ при $x \to 0$, который равен 1.

[незваный гость]

Профессор Снэйп писал(а):

При $\cos \alpha = 0$ сумма ряда равна первому члену, который, в свою очередь, равен нулю в нулевой степени

Oh, no! Мы не имеем никакого $0^0$. Мы имеем дело с функцией $x^0$, которая доопределена по непрерывности. Что довольно стандартно: мало кого удивляет нотация $e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$, хотя в ней есть тот же нюанс.