2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Логическое следование с несколькими заключениями
Сообщение19.02.2021, 21:44 


10/11/15
142
Известно, что в логике высказываний есть такая конструкция, как логическое следование формул с несколькими посылками.

Пусть $F_1,F_2,\ldots, F_k,G$ - формулы, которые зависят от пропозициональных переменных $P_1,P_2, \ldots, P_n$.

Определение 1. Будем говорить, что формула $G$ логически следует из формул $F_1,F_2, \ldots, F_k$, если для любых высказываний $A_1,A_2, \ldots, A_n$ если высказывания $F_1(A_1,A_2, \ldots, A_n), F_2(A_1,A_2, \ldots, A_n) , \ldots, F_k(A_1,A_2, \ldots, A_n)$ истинны, то истинно и высказывание $G(A_1,A_2, \ldots, A_n)$.

Определение 2. Будем говорить, что формула $G$ логически не следует из формул $F_1,F_2, \ldots, F_k$, если существуют такие высказывания $A_1,A_2, \ldots, A_n$, что высказывания $F_1(A_1,A_2, \ldots, A_n), F_2(A_1,A_2, \ldots, A_n) , \ldots, F_k(A_1,A_2, \ldots, A_n)$ истинны, а высказывание $G(A_1,A_2, \ldots, A_n)$ ложно.

Кажется, в каком-то источнике я видел (не уверен в этом) логическое следование с несколькими заключениями. Как определялось и определялось ли вообще, не помню. Источник тоже не помню. Как мне кажется, закономерны такие определения.

Пусть $F, G_1, G_2, \ldots, G_m$ - формулы, которые зависят от пропозициональных переменных $P_1,P_2, \ldots, P_n$.

Определение 3. Будем говорить, что формулы $G_1,G_2, \ldots, G_m$ логически следуют из формулы $F$, если для любых высказываний $A_1,A_2, \ldots, A_n$ если высказывание $F(A_1,A_2, \ldots, A_n)$ истинно, то истинно хотя бы одно из высказываний $G_1(A_1,A_2, \ldots, A_n), G_2(A_1,A_2, \ldots, A_n), \ldots, G_m(A_1,A_2, \ldots, A_n)$.

Определение 4. Будем говорить, что формулы $G_1,G_2, \ldots, G_m$ логически не следуют из формулы $F$, если существуют такие высказывания $A_1,A_2, \ldots, A_n$, что высказывание $F(A_1,A_2, \ldots, A_n)$ истинно, а высказывания $G_1(A_1,A_2, \ldots, A_n), G_2(A_1,A_2, \ldots, A_n), \ldots, G_m(A_1,A_2, \ldots, A_n)$ ложны.

Понятно, что в определениях 1 и 2 есть здравый смысл (из нескольких формул следует или не следует одна формула). Есть ли какой-то смысл в определениях 3 и 4? Там из одной формулы следуют или не следуют несколько формул.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логическое следование с несколькими заключениями
Сообщение20.02.2021, 00:22 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Исчисление секвенций (sequent calculus) оперирует как раз подобными штуками вида $\mathcal F \vdash \mathcal G$, выводя их друг из друга, где $\mathcal F, \mathcal G$ — конечные последовательности формул, с семантикой как у вас, то есть для классического исчисления мы имеем «$\mathcal F \vdash \mathcal G$ выводится ровно тогда, когда $\vdash (\bigwedge \mathcal F)\to(\bigvee \mathcal G)$ и также ровно тогда, когда $(\bigvee \mathcal F)\wedge\neg(\bigvee \mathcal G)\vdash$» (в первой слева от $\vdash$ пустое множество формул и справа одна комбинированная, во второй наоборот), а для интуиционистского прям так не выйдет, но семантика подобная.

-- Сб фев 20, 2021 02:25:46 --

Но вне таких симметричных исчислений (как пример ещё можно линейную логику взять, а больше я примеров и не знаю) я смысла бы в таком понятии следования одновременно нескольких формул не видел, оно точно часто будет путаться с обычным пониманием «для всех $G \in \mathcal G$ верно $\mathcal F \vDash G$».

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group