2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определение внешней степени из "Лекций по группам Ли" Адамса
Сообщение15.02.2021, 09:08 


28/05/08
284
Трантор
Здравствуйте! Читаю Адамса, застрял на пункте 3.59
Цитата:
Пусть $V^n = V \otimes V \otimes \cdots V$ ( $n$ множителей). Пусть $\lambda^n V^n$ --- слагаемое в $V^n$, на котором группа подстановок $\Sigma_n$ действует следующим образом:
$\rho w = (\varepsilon \rho) w$,
где $\varepsilon \rho$ --- знак подстановки $\rho$, то есть $\lambda^n V$ есть пространство кососимметрических тензоров. $G$-пространство $\lambda^n V$ называется $n$-й внешней степенью пространства $V$.

Я верно понимаю, что:
а) $\lambda^n V^n$ это опечатка, и имелось в виду $\lambda^n V$
б) в этом определении Адамс говорит на самом деле вот что: симметрическая группа $\Sigma_n$ действует на $V^n$ очевидным образом $\rho \, v_1 \otimes v_2 \cdots \otimes v_n = v_{\rho(1)} \otimes v_{\rho(2)} \cdots \otimes v_{\rho(n)}$.
Мы рассмотрим подпространство $\lambda^n V$ пространства $V^n$, заданное линейными условиями $\rho w = (\varepsilon \rho) w$ (то есть подпространство кососимметрических тензоров) и увидим, что это подпространство инвариантно относительно действия группы $G$
(конечно, с самого начала у нас была группа Ли $G$, которая действовала на $V$,
и мы определили действие $G$ на $V^n$ посредством $g \, v_1 \otimes v_2 \cdots \otimes v_n = gv_1 \otimes gv_2 \cdots \otimes g v_n$) и поэтому отщепляется прямым слагаемым.
в) Последняя фраза про слагаемое требует предположения о компактности $G$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение внешней степени из "Лекций по группам Ли" Адамса
Сообщение15.02.2021, 11:05 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
а) Да, а ещё лучше $\Lambda^nV$, нынче так принято.
б) Да, кроме "поэтому". $G$-инвариантность очевидна, потому что действия $G$ и симметрической группы коммутируют.
в) Отщепление прямым слагаемым для конструкции внешней степени представления не нужно. Тем не менее, оно имеет место для любой группы $G$. Достаточно проверить для стандартного представления $GL(V)$ на $V=\mathbb C^d$. На самом деле есть красивая теорема, которая полностью описывает разложение $V^{\otimes n}$ в прямую сумму неприводимых представлений $GL(V)\times\Sigma_n$ (в частности, разложение в прямую сумму неприводимых представлений $GL(V)$), называется двойственность Шура -- Вейля. Пример: если размерность $d\geqslant 2$, то $V\otimes V\simeq S^2V\oplus\Lambda^2V$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение внешней степени из "Лекций по группам Ли" Адамса
Сообщение16.02.2021, 03:17 


28/05/08
284
Трантор
Slav-27
Спасибо, особенно за в)! Меня именно слово "слагаемое" у Адамса и смущало больше всего, но все определение в целом казалось очень странно сформулированным. Теперь можно читать дальше спокойно. Что до обозначений - я сам привык к $\Lambda^n V$ в полилинейной алгебре, но Адамс зарезервировал $\Lambda$ для поля скаляров $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ или $\mathbb{H}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group