Определение внешней степени из "Лекций по группам Ли" Адамса

[Narn]

Здравствуйте! Читаю Адамса, застрял на пункте 3.59

Цитата:

Пусть $V^n = V \otimes V \otimes \cdots V$ ( $n$ множителей). Пусть $\lambda^n V^n$ --- слагаемое в $V^n$, на котором группа подстановок $\Sigma_n$ действует следующим образом:
$\rho w = (\varepsilon \rho) w$,
где $\varepsilon \rho$ --- знак подстановки $\rho$, то есть $\lambda^n V$ есть пространство кососимметрических тензоров. $G$-пространство $\lambda^n V$ называется $n$-й внешней степенью пространства $V$.

Я верно понимаю, что:
а) $\lambda^n V^n$ это опечатка, и имелось в виду $\lambda^n V$
б) в этом определении Адамс говорит на самом деле вот что: симметрическая группа $\Sigma_n$ действует на $V^n$ очевидным образом $\rho \, v_1 \otimes v_2 \cdots \otimes v_n = v_{\rho(1)} \otimes v_{\rho(2)} \cdots \otimes v_{\rho(n)}$.
Мы рассмотрим подпространство $\lambda^n V$ пространства $V^n$, заданное линейными условиями $\rho w = (\varepsilon \rho) w$ (то есть подпространство кососимметрических тензоров) и увидим, что это подпространство инвариантно относительно действия группы $G$
(конечно, с самого начала у нас была группа Ли $G$, которая действовала на $V$,
и мы определили действие $G$ на $V^n$ посредством $g \, v_1 \otimes v_2 \cdots \otimes v_n = gv_1 \otimes gv_2 \cdots \otimes g v_n$) и поэтому отщепляется прямым слагаемым.
в) Последняя фраза про слагаемое требует предположения о компактности $G$?

[Slav-27]

а) Да, а ещё лучше $\Lambda^nV$, нынче так принято.
б) Да, кроме "поэтому". $G$-инвариантность очевидна, потому что действия $G$ и симметрической группы коммутируют.
в) Отщепление прямым слагаемым для конструкции внешней степени представления не нужно. Тем не менее, оно имеет место для любой группы $G$. Достаточно проверить для стандартного представления $GL(V)$ на $V=\mathbb C^d$. На самом деле есть красивая теорема, которая полностью описывает разложение $V^{\otimes n}$ в прямую сумму неприводимых представлений $GL(V)\times\Sigma_n$ (в частности, разложение в прямую сумму неприводимых представлений $GL(V)$), называется двойственность Шура -- Вейля. Пример: если размерность $d\geqslant 2$, то $V\otimes V\simeq S^2V\oplus\Lambda^2V$.

[Narn]

Slav-27
Спасибо, особенно за в)! Меня именно слово "слагаемое" у Адамса и смущало больше всего, но все определение в целом казалось очень странно сформулированным. Теперь можно читать дальше спокойно. Что до обозначений - я сам привык к $\Lambda^n V$ в полилинейной алгебре, но Адамс зарезервировал $\Lambda$ для поля скаляров $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ или $\mathbb{H}$.