2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два бруска с пружиной на шероховатой поверхности
Сообщение13.02.2021, 18:39 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Два бруска массы $m_1$ и $m_2$ соединены пружиной с к-том жесткости $k$, растянутой на расстояние $b$. Эту конструкцию положили на шероховатую поверхность с к-том трения между брусками и поверхностью $\mu$
Изначально система в покое. Затем Ее отпускают.
Считая, что начальной силы пружины достаточно, чтобы сдвинуть бруски, то есть $kb>\mu m_1g$ и $kb>\mu m_2g$ определить максимальные скорости брусков.

(Оффтоп)

Эта задачка попалась мне при подготовке одного канадского школьника к канадской олимпиаде по физике. Мы с ним решаем задачки из предыдущих лет. Большинство задачек так себе. Но эта мне чем-то понравилась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два бруска с пружиной на шероховатой поверхности
Сообщение14.02.2021, 11:42 
Заслуженный участник


28/12/12
6984
А эта задачка разве решается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два бруска с пружиной на шероховатой поверхности
Сообщение14.02.2021, 15:50 
Аватара пользователя


11/12/16
9862
уездный город Н
DimaM
А почему нет?
Условия достаточны, чтобы однозначно определить движение брусков.
Так как движение начинается со скоростей ноль и заканчивается скоростями ноль, то где-то будут глобальные максимумы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два бруска с пружиной на шероховатой поверхности
Сообщение14.02.2021, 20:02 
Заслуженный участник


03/01/09
1508
москва
$$v_{1max}=\dfrac {m_2}{m_1+m_2}\omega (b-\dfrac {2\mu g}{\omega ^2})\sin \alpha -\dfrac {\mu g}{\omega }\dfrac {(m_1-m_2)}{(m_1+m_2)}\alpha }$$где: $\omega ^2=\dfrac {k(m_1+m_2)}{m_1m_2},\alpha =\arccos \dfrac {\frac {\mu gm_1}k-\frac {2\mu g}{\omega ^2}}{b-\frac {2\mu g}{\omega ^2}}, m_1>m_2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два бруска с пружиной на шероховатой поверхности
Сообщение14.02.2021, 20:27 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
mihiv

Я не проверял точность ваших выкладок. Но вижу, что ход ваших мыслей совпадает с моим. :)
Для второй массы нужно проверить, будет ли в момент, когда $\Delta x k=\mu m_2g$ первая масса уже в покое, или нет. Очевидно, что при $m_1>>m_2$ симметричного ответа для $v_2$ не получим. То есть в момент полной остановки $m_1$ второй брусок будет все ещё ускоряться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два бруска с пружиной на шероховатой поверхности
Сообщение15.02.2021, 06:43 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
mihiv
Решил честно подсчитать и у меня получилось похоже, да не очень.
Давайте ка я изложу свое решение степ-бай-степ.

Пусть у нас брусок $m_1$ слева, а брусок $m_2$ соответственно справа. $m_1>m_2$
Положительное направление слева направо. Тогда силы трения $F_1=-\mu m_1g$ и $F_2=\mu m_2g$

Результирующая сила, действующая на систему будет $F=-\mu g(m_1-m_2)$

И, соответственно, ускорение центра масс системы будет $-\mu g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}$

Переходим в неинерциальную систему центра масс.
В ней появляется фиктивная сила "тяжести" с ускорением "свободного падения" вправо $a=\mu g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}$

В этой системе стандартным образом разбиваем пружинку на два куска - слева и справа от ЦМ.
У получившихся двух пружинок к-ты жёсткости соответственно $k_1=k\frac{m_1+m_2}{m_2}$ и $k_2=k\frac{m_1+m_2}{m_1}$
А начальные растяжения $b_1=b\frac{m_2}{m_1+m_2}$ и $b_2=b\frac{m_1}{m_1+m_2}$

Теперь учтём действие "силы тяжести".
Она смещает точку равновесия для обеих пружинок вправо на расстояние $\Delta b=\frac{m_1 a}{k_1}=\frac{\mu m_1m_2g}{k}\frac{m_1-m_2}{(m_1+m_2)^2}$

Таким образом находим амплитуды колебаний для обеих масс:
$A_1=b_1+\Delta b=b\frac{m_2}{m_1+m_2} +\frac{\mu m_1m_2g}{k}\frac{m_1-m_2}{(m_1+m_2)^2}$
$A_2=b_2-\Delta b= b\frac{m_1}{m_1+m_2} - \frac{\mu m_1m_2g}{k}\frac{m_1-m_2}{(m_1+m_2)^2}$
И частотой колебаний $\omega = \sqrt{k\frac{m_1+m_2}{m_1m_2}}$

Тела движутся в противофазе:
$x_1=-A_1\cos(\omega t)$ и $x_2=A_2\cos(\omega t)$
Соответственно скорости будут:
$v_1=A_1\omega\sin(\omega t)$ и $v_2=-A_2\omega\sin(\omega t)$
А ускорения:
$a_1=A_1\omega^2\cos(\omega t)$ и $a_2=-A_2\omega^2\cos(\omega t)$

Первое тело достигнет максимальной скорости, когда его ускорение в неинерциальной системе сравняется с ускорением самой системы с обратным знаком.
То есть $A_1\omega^2\cos(\omega t) = a$
Или $t_1= \frac{1}{\omega}\arccos(\frac{a}{A_1\omega^2)}$
Остаётся подставить это время в формулу для скорости и учесть, что неинерциальная система приобрела скорость $-at_1$
То есть $V_1=A_1\omega\sin(\omega t_1) -at_1$
Остаётся честно подставить все выражения

 Профиль  
                  
 
 Re: Два бруска с пружиной на шероховатой поверхности
Сообщение15.02.2021, 13:28 
Заслуженный участник


03/01/09
1508
москва
fred1996
Да, получилось похоже, я, правда, просто решал ДУ для разности $x_2-x_1$.
Имеет смысл проверить частный случай $m_1=m_2$, там формулы упрощаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два бруска с пружиной на шероховатой поверхности
Сообщение15.02.2021, 21:42 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Если честно, я, конечно, схитрил.
На самом деле в условии задачи при заданных числах получалось, что более массивное тело не может сдвинуться с места. То есть $kb<\mu m_1g$
И задачка превращается в совсем тривиальную - гармоническое колебание в присутствии сухого трения.
Но я это по перву не заметил и стал решать как обычно - формулами.
Мне задачка показалась достаточно интересной. Хотя, казалось бы, что там такого интересного можно найти в колебаниях? Но тут собрано сразу несколько идей в кучу. Так что школьникам, и даже некоторым ЗУ не так просто Ее разложить по полочкам. А сама идея, что сила трения создаёт неинерциальную систему с постоянным ускорением, да ещё с гармоническими колебаниями внутри системы мне кажись попадается впервые.
Конечно, если Ее дальше анализировать, то там возникают варианты.
Что будет, если более массивное тело остановится (в инерциальный системе, конечно), а малое тело ннеинаберет максимальной скорости.
Будет ли достаточно силы пружины, чтобы его сдвинуть с места в обратную сторону. Ведь тогда оба тела начнут двигаться в одну сторону, а силы трения придётся не вычитать, а складывать. В общем на первый взгляд найти максимальную скорость меньшего тела не так то просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два бруска с пружиной на шероховатой поверхности
Сообщение16.02.2021, 05:16 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
DimaM в сообщении #1505020 писал(а):
А эта задачка разве решается?


Меня, если честно, озадачил ваш вопрос?
Стало даже интересно, что вы имели ввиду?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group