Уравнение Фредгольма 2 рода

[marie-la]

Дано интегральное уравнение Фредгольма 2 рода с симметричным ядром
$\varphi(x)=\lambda\int\limits_{0}^{3}K(x,y)\varphi(y)dy$,
где
$K(x,y)=\left\{ \begin{array}{rcl} (x-2)(3-y), &0\leq x\leq y\leq 3& \\ (y-2)(3-x), &0\leq y\leq x\leq 3& \\ \end{array} \right.$
Нужно найти собственные значения и собственные функции а) ядра; б) $6$-го итерированного ядра.

Для ядра я нашла собственные функции вида $\sin k(x-3)$ для определенных $k$ - с помощью дифференцирования уравнения и подстановки получившегося решения в исходное уравнение для подбора констант. При этом решение не слишком изящное, многовато интегралов. Но что делать с итерированным ядром? Неужели нужно 6 раз интегрировать, чтоб потом решать? Возможно, вообще для симметричного ядра какой-то свой красивый метод нахождения собственных чисел есть?

[_hum_]

А в "Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. Манжиров А.В., Полянин А.Д. " смотрели?

[ewert]

marie-la в сообщении #1504853 писал(а):

Возможно, вообще для симметричного ядра какой-то свой красивый метод нахождения собственных чисел есть?

И не только для симметричного, но уж для симметричного-то оператора заведомо. Надо просто возвести эти числа в шестую степень (а функции, естественно, так и оставить).

Что касается исходного ядра. Уж не знаю, какой там способ решения загадывался, но дело в том, что это откровенная функция Грина для дифференциального оператора $\alpha\frac{d^2}{dx^2}$, т.е. $K(x,y)=\frac1{\alpha W}\begin{cases}u_-(x)\,u_+(y)&(x<y),\\u_-(y)\,u_+(x)&(x>y),\end{cases}$, где $u_-(x),\;u_+(x)$ -- решения дифференциального уравнения $\alpha\,u''(x)=0$ с соответствующими граничными условиями на левом и на правом конце и $W$ -- вронскиан этих решений. В данном случае $W=-1$ (и, следовательно, $\alpha=-1$). Граничное условие на правом конце $u_+(3)=0$, а вот на левом получается однородное граничное условие 3-го рода $u_-(0)+2u_-'(0)=0$. Соответственно, да, собственные функции $\psi(x)=\sin k(x-3)$, и левое граничное условие даёт для $k$ трансцедентное уравнение $-\sin3k+2k\cos3k=0$, т.е.$\tg3k=2k$. (Могло бы быть ещё одно собственное число в отрицательной области, но не в данном случае, т.к. при данных граничных условиях оператор положительно определён.)

И да, я в курсе, что есть товарищи, любящие называть эти лямбды собственными. Но это неприлично: для интегрального уравнения они -- характеристические, собственные же -- для обратного (т.е. дифференциального) оператора.

-- Сб фев 13, 2021 08:54:20 --

Виноват, ошибочка вышла -- в данном случае отрицательное собственное число всё-таки есть ($\th3k=2k$). (Это я навскидку проверял соответствие знаков второму началу термодинамики и перепутал эти знаки).

[marie-la]

ewert
А как доказать, что для итерированного ядра других характеристических чисел нет? Подскажите, пожалуйста!

[ewert]

Это общее свойство любых самосопряжённых операторов
(и не только их; но вот их -- в частности)