Кольцо непрерывных функций

[Профессор Снэйп]

Множество $C[0,1]$ непрерывных функций из $[0,1]$ в $\mathbb{R}$ рассматривается как кольцо, с поточечными сложением и умножением. Пусть $I$ --- собственный идеал этого кольца. Доказать, что существует $x_I \in [0,1]$, такое что $f(x_I)=0$ для всех $f \in I$.

P. S. Формулировку взял с одного старого форума. На том форуме maxal эту задачу уже решил (года 4 назад, если не ошибаюсь). Так что если он помнит решение, то пусть молчит

[RIP]

Допустим обратное. Тогда для любой точки $a\in[0;1]$ отрезка найдутся её окрестность (в топологии $[0;1]$) $O(a)\subset[0;1]$ и функция $f_a\in I$, что

$$f_a(x)\begin{cases}>0,&x\in O(a),\\=0,&x\notin O(a).\end{cases}$$

Выбирая конечное подпокрытие отрезка множествами $O(a)$ и складывая соответствующие функции, получаем, что в $I$ содержится обратимый элемент. Противоречие.

[Профессор Снэйп]

Ух ты, в пять минут раскололи! А я над этой задачей когда-то долго думал

Тогда ещё два вопроса.

1) Останется ли утверждение верным, если $[0,1]$ заменить на произвольное компактное топологическое пространство?

2) Можно ли придумать пример собственного идеала в кольце всех непрерывных функций из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, для которого числа $x_I \in \mathbb{R}$ не существует?

Добавлено спустя 4 минуты 4 секунды:

Через три минуты после того, как сформулировал второй вопрос, понял, что ответ на него тривиален. Насчёт первого не уверен.

[maxal]

Значит, теперь можно привести ссылку на старое обсуждение этой задачи. Решения у нас с RIP совпадают, только я разве что чуть подробнее его расписал.

[lofar]

Профессор Снэйп писал(а):

1) Останется ли утверждение верным, если $[0,1]$ заменить на произвольное компактное топологическое пространство?

Да, останется. Причем можно использовать доказательство, предложенное RIP. Нужно только отметить, что для любой точки $a$ компактного пространства $K$ и любой ее окрестности $U\ni a$ существует функция $\varphi\in C(K)$ такая, что: (i) $0\leqslant \varphi(x)\leqslant 1$ для любого $x\in K$; (ii) $\varphi(a)=1$; (iii) $\varphi(x)=0$ при $x\notin U$.

[Профессор Снэйп]

lofar писал(а):

Нужно только отметить, что для любой точки $a$ компактного пространства $K$ и любой ее окрестности $U\ni a$ существует функция $\varphi\in C(K)$ такая, что: (i) $0\leqslant \varphi(x)\leqslant 1$ для любого $x\in K$; (ii) $\varphi(a)=1$; (iii) $\varphi(x)=0$ при $x\notin U$.

А как это доказывается? У меня что-то не получается

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

А как это доказывается? У меня что-то не получается

Посмотрите стандартную конструкцию на стр 19 из
Федорчук В.В., Филиппов В.В. — Общая топология. Основные конструкции

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

А как это доказывается? У меня что-то не получается

Посмотрите стандартную конструкцию на стр 19 из
Федорчук В.В., Филиппов В.В. — Общая топология. Основные конструкции

Вы имеет в виду пункт 2.17 (теорему про "плотное дробление") или что-то другое?

Если да, по почему то самое "плотное дробление" для произвольного компакта существует? Или я чего-то не понимаю?

[Brukvalub]

Там чуть дальше (на след. стр.) есть еще лемма Урысона (2.18)- я говорил про нее.

[Профессор Снэйп]

Цитата:

Лемма Урысона. Для любых двух непересекающихся замкнутых подмножеств $F_0$ и $F_1$ нормального пространства $X$ существует такая непрерывная на $X$ функция $\varphi$, что $\varphi(F_0) = 0$, $\varphi(F_1) = 1$ и $0 \leqslant \varphi(x) \leqslant 1$ для всех $x \in X$.

А разве произвольный компакт будет нормальным пространством?

[Brukvalub]

Вот здесь: http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%AD%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B3&network=1
доказывается, что каждое компактное хаусдорфово пространство нормально.

[Echo-Off]

Brukvalub писал(а):

каждое компактное хаусдорфово пространство нормально

Ах, так ещё и хаусдорфовость надо потребовать. А в формулировке Профессора Снэйпа ничего про неё не сказано

[Brukvalub]

Echo-Off писал(а):

Ах, так ещё и хаусдорфовость надо потребовать. А в формулировке Профессора Снэйпа ничего про неё не сказано

Вот привязались Тогда уж пусть lofar все дообъясняет!

[Someone]

Echo-Off писал(а):

Ах, так ещё и хаусдорфовость надо потребовать. А в формулировке Профессора Снэйпа ничего про неё не сказано

Это не принципиально.
Назовём две точки топологического пространства функционально эквивалентными (это не общепринятый термин, я его использую только здесь), если любая функция, непрерывная на данном пространстве, принимает в этих точках равные значения.

Пусть $X$ - компактное топологическое пространство, $X_f$ - множество классов функционально эквивалентных точек пространства $X$, $f\colon X\to X_f$ - отображение, которое каждую точку пространства $X$ преобразует в содержащий её класс эквивалентности. Каждой непрерывной функции $g\colon X\to\mathbb R$ соответствует функция $g_f\colon X_f\to\mathbb R$, определяемая формулой $g_fy=gf^{-1}y$ для $y\in X_f$ (аккуратнее сказать, что мы берём любую точку $x\in f^{-1}y$ и полагаем $g_fy=gx$). Снабдим множество $X_f$ минимальной топологией, в которой все эти функции будут непрерывными.
Элементарно проверяется, что пространство $X_f$с такой топологией вполне регулярно (в частности, хаусдорфово), и что отображение $f$ непрерывно (поэтому $X_f$ компактно). Отсюда следует также, что алгебры непрерывных функций $C(X)$ и $C(X_f)$ изоморфны.