2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сферические оболочки в сильном магнитном поле
Сообщение05.02.2021, 16:30 
Аватара пользователя


12/02/20
260
Две сферические оболочки радиуса $R$ сделаны из меди и соединены медным стержнем длины $L$ и радиуса $r$. Полная масса этой системы равна $m$. Вся конструкция помещена в очень сильное магнитное поле индукции $B$, перпендикулярно стержню. Конструкции придают начальную малую скорость $u$ параллельно направлению стержня. Такое положение системы неустойчиво: начнутся колебания которые затухнут, и система примет положение устойчивого равновесия и новую скорость $v$. Найдите эту скорость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферические оболочки в сильном магнитном поле
Сообщение07.02.2021, 15:39 


20/04/10
1231
Русь
Если $L\gg R\gg r$, тогда $v=\frac{m u}{m+B^2 L^2 C}.$ Здесь $C$ это ёмкость двух сфер. Это ответ для упрощённой модели, в которой не учитывается распределение заряда на сферах, а также распределение заряда в стержне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферические оболочки в сильном магнитном поле
Сообщение10.02.2021, 10:35 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Не пришло ли время немного обсудить задачу? Я согласен с ответом lel0lel , и мне интересно этого ли ожидал profilescit или чего-то совершенно иного.
Я вижу три этапа решения. Думаю, что lel0lel решал именно так.
Во-первых, качественный анализ показывает, что устойчивым положением является ситуация, когда гантелька будет перпендикулярна направлению скорости, при этом как скорость, так и продольная ось гантельки остаются в плоскости перпендилулярной магнитному полю.
Во-вторых, уравнения движения приводят к формуле $m(\mathbf{v}-\mathbf{u})=[\mathbf{P }\mathbf{B}]$, где $\mathbf{P}$ - дипольный момент наведенный полем $\mathbf{E}=[\mathbf{vB}]$ в системе отсчета гантельки.
В-третьих, и здесь релевантны упрощения, о которых говорил lel0lel - $\mathbf{P}=\mathbf{E}L^2C$, причем, добавлю $C=2\pi \varepsilon_0 R$. Уточнение $C$ требует большой работы.
Меня смущают оговорки в условии "очень сильное магнитное поле" и "начальную малую скорость". И, с другой стороны, если подставить разумные цифры, эффект настолько мал, что не наблюдаем

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферические оболочки в сильном магнитном поле
Сообщение11.02.2021, 22:37 
Аватара пользователя


12/02/20
260
AnatolyBa

Ответы сходятся. Решил ее выставить так как довольно мало нашел задач с применением векторного потенциала и сохранением канонического импульса на относительно школьно-олимпиадном уровне.
Скорее всего сильное магнитное поле нужно для того чтобы нельзя было тривиально написать $u = v$, а малая начальная скорость для того чтобы пренебрегать релятивизмом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферические оболочки в сильном магнитном поле
Сообщение14.02.2021, 13:52 


21/07/20
157
AnatolyBa
У меня так просто не получилось. Результирующая сила:
$\vec{F}=\frac{dq}{dt}[\vec{L}\vec{B}]\ne[\frac{d\vec{P}}{dt}\vec{B}]$,
поскольку $\vec{L}\ne \operatorname{const}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сферические оболочки в сильном магнитном поле
Сообщение14.02.2021, 20:02 
Заслуженный участник


21/09/15
998
profilescit решал через сохранение обобщенного импульса, это более интересно.
А я проще. Каждый заряд внутри тела $q_i$ получает за все время от силы Лоренца импульс $q_i \int\limits_{}^{}[\mathbf{vB}]=q_i[\Delta \mathbf{r_i B}]$.
Плюс всевозможные толчки от соседей, которые скомпенсируются при суммировании по всем частицам.
Т. е. при суммировании импульс полученный телом от силы Лоренца будет $\sum\limits_{}^{}q_i[\Delta \mathbf{r_i B}]=[\Delta \mathbf{P B}]$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group