Преобразование Фурье и почти свертка функций

[Divergence]

Преобразование Фурье функции $f(x)$ имеет вид
$({\cal F} f)(k) = \int^{\infty}_{-\infty} f(x) \, e^{-ikx}).$
Свертка функций $f(x)$ и $f(x)$ имеет вид
$ (g*f)(x) = \int^{\infty}_{-\infty} g(y) \, f(x-y) \, dy .$
Преобразование Фурье этой свертки - произведение
$({\cal F}(g*f))(k) = ({\cal F}g)(k) \, ({\cal F}f)(k).$

Меня интересует Преобразование Фурье для выражения
$ \int^{x}_{0} g(y) \, f(x-y) \, dy ,$
которое похоже на свертку.

Пытался сделать следующее:
Записать искомое выражение в виде свертки
$ \int^{x}_{0} g(y) \, f(x-y) \, dy = \int^{\infty}_{-\infty} G(y) \, f(x-y) \, dy ,$
для новой функции
$ G(y) =\left\{ \begin{array}{l} 0 , \quad y<0 \\ g(y) , \quad 0< y < x \\ 0 , \quad y>x \\ \end{array} \right. $
чтобы получить произведение
${\cal F}(G*f)(k) = {\cal F}(G)(k) \, {\cal F}(f)(k).$

Однако $G$ зависит не только от $y$, но и $x$, то есть $G=G(x,y)$ и получаем не совсем свертку
$\int^{\infty}_{-\infty} G(y,x) \, f(x-y) \, dy .$
Этот путь ошибочный?

Можно ли вообще выразить преобразование Фурье для выражения
$ \int^{x}_{0} g(y) \, f(x-y) \, dy .$
через Фурье образы функции $f(x)$ и некоторой функции $G$ построенной из $g(x)$?
Получив произведение $({\cal F} G)(k) \, ({\cal F} f)(k)$$.

[novichok2018]

Можно выразить через Лаплас, а потом в 3х Лапласах по известным формулам замен аргументов перейти к Фурье.

[Divergence]

Отмечу, что в русскоязычной википедии (в которой пишут много глупостей) написано следующее
"https://ru.wikipedia.org/wiki/Свёртка_(математический анализ)"
"В случае, когда $x\in \mathbb {R}$, а функции $f(x)$, $g(x)$
определены на промежутке $[0,+\infty)$ cвёртку можно записать в виде
$(f*g)(x) = \int_{0}^{x} f(y)\,g(x-y)\,dy=\int_{0}^{x}f(x-y)\,g(y)\,dy.$",
а потом перечисляются свойства свертки, включая Фурье преобразование.
Таже фраза есть и англоязычной википедии
https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution

[Slav-27]

Divergence в сообщении #1503684 писал(а):

Меня интересует Преобразование Фурье для выражения
$ \int^{x}_{0} g(y) \, f(x-y) \, dy ,$
которое похоже на свертку.

Это $f_+*g_+$, где $f_+(x)=0$ при $x\leq0$ и $f(x)$ при $x>0$, и аналогично для $g$.

[Divergence]

Спасибо.

В результате получаю
$\int^{x}_{0} g(y) \, f(x-y) \, dy = \int^{\infty}_{-\infty} G(y) \, F(x-y) \, dy ,$
где $g_{+}(y)=G(y)=H(y) g(y)$ и $f_{+}(y)=F(y)=H(y) f(y)$, где $H(y)$ - функция Хевисайда:
$ H(y) =\left\{ \begin{array}{l} 0 , \quad y\le 0 \\ 1 , \quad y >0 , \end{array} \right. $
Для $G(y)$ все хорошо, она так и определена ($G(y)=g(y)$).
Для $f(y)$ возникает вопрос о формуле для Фурье преобразования произведения функции $f(y)$, определенной на всей оси, и функции Хевисайда.
$({\cal F} F)(k)=({\cal F}(Hf))(k)=?$

[arseniiv]

Тут если только обратно через свёртку теперь, по идее.

(Кстати оффтопное: вы можете принять соглашение, что фурье-оператор связывается со своей функцией-аргументом сильнее, чем скобки, применяющие к функции её аргумент. Тогда вам можно будет опустить все скобки вокруг выражений $\mathcal Fg, \mathcal F(Hf), \ldots$, что и пишется, и читается чууть быстрее.)