Разложение в интеграл в Гильбертовом пространстве

[Maxim Gritskov]

Здравствуйте! Я первокурсник и сильно не шарю в функане, поэтому вопрос может быть поставлен некорректно, если что поправьте пожалуйста. Мне хотелось бы разобраться в следующем вопросе. Я видел, как физики в Гильбертовых пространствах с несчетным ортонормированным базисом вектор раскладывают в интеграл. Я понимаю что вектор можно разложить в ряд, что такое базис Шаудера более менее представляю, но я нигде не могу найти формализацию разложения вектора в интеграл. Посоветуйте пожалуйста литературу, в которой про это можно было бы подробно почитать, и объясните вкратце как формализовать такое разложение. Спасибо!

[Slav-27]

Maxim Gritskov в сообщении #1503118 писал(а):

физики в Гильбертовых пространствах с несчетным ортонормированным базисом

Точно? Тогда хочу увидеть пример, такие гильбертовы пространства несепарабельны, и, по моим представлениям, они очень редко встречаются. Или всё-таки что-то типа $L^2(\mathbb R^n)$ и интеграл Фурье?

[Maxim Gritskov]

Slav-27 в сообщении #1503122 писал(а):

Maxim Gritskov в сообщении #1503118 писал(а):

физики в Гильбертовых пространствах с несчетным ортонормированным базисом

такие гильбертовы пространства несепарабельны

Ну меня в основном интересует пространство квантовых состояний, там вводят некоторое "оснащенное" Гильбертово пространство в котором, по моим скудным познаниям в функане, можно таки выделить всюду плотное подмножество, я зря об этом умолчал видимо. Пример вот разложение вектора состояния по базису какой-нибудь наблюдаемой с непрерывным спектром, причем базисные состояния нормированы на дельта функции.

[FL91]

Как я понял, нужна спектральная теорема для неограниченных самоспоряжённых операторов. Но это как-то далековато для первого курса. Хотя если ТС Übermensch, то другое дело.

На русском, можно найти, например, в Ю.М. Березанский+ Функциональный анализ.

[Legioner93]

Рудин, Функциональный анализ, 13.29 и далее

Насколько это будет понятно первокурснику -- не знаю, у нас функан был на третьем

-- Пт янв 29, 2021 14:08:24 --

Maxim Gritskov в сообщении #1503118 писал(а):

Я видел, как физики в Гильбертовых пространствах с несчетным ортонормированным базисом вектор раскладывают в интеграл

Кстати, а где именно на первом курсе физики занимаются такими страшными вещами?

Лекторы по физике конечно любят обгонять параллельный им "матан", но не настолько же

[Maxim Gritskov]

Всем спасибо! На первом курсе физики нигде этим не занимаются, интересуюсь самостоятельно, параллельно с учебой.