Теорема Декарта количество корней

[13h]

Добрый день, есть уравнение $x^5 - 3x^2 - 8x + 7 = 0$. Пытаюсь применить теорему Декарта о количестве корней. Имеем две смены знака следовательно 2 или 0 положительных корня. Находим $ P_n(-x) = -x^5 - 3x^2 + 8x + 7 $, тоже две смены и тоже 2 или 0 отрицательных корня, но отрицательный корень 1. Подскажите, пожалуйста, почему так? Правильно ли я понимаю, что при нахождении $P_n(-x)$ в исходное уравнение я должен вместо $x$ подставить $-x$?

[kotenok gav]

13h в сообщении #1502764 писал(а):

тоже две смены

Не две, всего одна.

[13h]

Тут только одну логику нашел подходящую под одну смену. В первом случае имеем $+ - - +$ - с плюса сменился на минус (первая смена) и потом снова на плюс (вторая смена). Во втором случае $- - + +$ - с минуса сменился на плюс (первая и единственная смена). Так работает эта теорема?

[StaticZero]

13h в сообщении #1502766 писал(а):

В первом случае имеем $+ - - +$ - с плюса сменился на минус (первая смена) и потом снова на плюс (вторая смена). Во втором случае $- - + +$ - с минуса сменился на плюс (первая и единственная смена). Так работает эта теорема?

Всё так.

[13h]

Спасибо большое.

[StaticZero]

13h в сообщении #1502764 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что при нахождении $P_n(-x)$ в исходное уравнение я должен вместо $x$ подставить $-x$?

$P(x)$ это такая функция на $\mathbb R$. Функция (мухи) отдельно, её корни (котлеты) отдельно. Это раз.
$P(-x)$ это другая функция, которую можете обозначить $Q(x) \equiv P(-x)$. Это два. (Бывает, что совпадают, но для общего положения -- всё-таки другая.)

Теорема Декарта накладывает ограничения на количество положительных корней любого многочлена, причём она накладывает ограничения такого рода одновременно и на $P(x)$, и на $Q(x)$. А то, что корни $Q(x)$ и $P(x)$ связаны очевидным образом, к самой теореме не имеет отношения.

Ну это на всякий случай