Найти вершин шестиугольника

[Maximmmm]

Здравствуйте, не могу понять как решается такая задача.
Дан правильный шестиугольник ABCDEF . Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы AC и AE, найти координаты вершин шестиугольника и его центра.
Пока что дошел только до 3 вершин:
$A(0;0)$
$AC=1*AC+0*AE$; $C(1;0)$
$AE=0*AC+1*AE$; $E(0;1)$
Думал дальше найти $AD$ и через неё выразить остальные вершины.
$AD=AC+CD$ и вот на том как выразить $CD$ через $AC$ и $AE$ запнулся.

[kotenok gav]

Сначала найдите координаты точки $O$ (подсказка: какие координаты у центра тяжести треугольника?).

[StepV]

Maximmmm в сообщении #1502028 писал(а):

Здравствуйте, не могу понять как решается такая задача.

Если это курс аналитической геометрии, то лучше решать этими методами.
Тогда, т A начало прямоугольной и косоугольной системы координат. Надо:
1. Вычислить координаты всех точек в прямоугольной системе координат;
2. Найти матрицу пересчета из прямоугольной системы в косоугольную;
3. Пересчитать с помощью матрицы координаты всех точек.

Для начала угол $\angle CAE$ определить сможете?

[Maximmmm]

kotenok gav в сообщении #1502040 писал(а):

Сначала найдите координаты точки $O$ (подсказка: какие координаты у центра тяжести треугольника?).

Вроде понял. Если провести отрезок EC, то в треугольнике EAC $O=\frac13A+\frac13C+\frac13E=\frac13C+\frac13E\
$O(\frac13;\frac13)$
$2AO=AD; AD=\frac23C+\frac23E$ ;$D(\frac23;\frac23)$
$AB+AO=AC$
$(x+\frac13,y+\frac13)=C(1;0)$
$x+\frac13=1;x=\frac23$
$y+\frac13=0;y=-\frac13$;$B(\frac23;-\frac13)$
$AF+AO=AE$
$(x+\frac13,y+\frac13)=E(0;1)$
$x+\frac13=0;x=-\frac13$
$y+\frac13=1;y=\frac23$;$F(-\frac13;\frac23)$
Спасибо за помощь!

StepV в сообщении #1502048 писал(а):

Maximmmm в сообщении #1502028 писал(а):

Здравствуйте, не могу понять как решается такая задача.

Если это курс аналитической геометрии, то лучше решать этими методами.
Тогда, т A начало прямоугольной и косоугольной системы координат. Надо:
1. Вычислить координаты всех точек в прямоугольной системе координат;
2. Найти матрицу пересчета из прямоугольной системы в косоугольную;
3. Пересчитать с помощью матрицы координаты всех точек.

Для начала угол $\angle CAE$ определить сможете?

Боюсь для меня подобные методы сложноваты еще,я только начинаю)

[arseniiv]

StepV в сообщении #1502048 писал(а):

1. Вычислить координаты всех точек в прямоугольной системе координат;
2. Найти матрицу пересчета из прямоугольной системы в косоугольную;
3. Пересчитать с помощью матрицы координаты всех точек.

Выглядит очень неудобно.

Я бы предложил достраивать чертёж: продолжать прямые, откладывать дальше на них отрезки и откладывать данные нам векторы. Тогда станет лучше видно, сколько раз отложенные целое число раз, куда они заведут, а потом останется просто поделить на какие-то числа ну и довести арифметикой дело до конца. Не обязательно стараться получить сразу только те точки, о которых спрашивается.

Пример: $A + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE}$ даёт нам точку $A + 3\overrightarrow{AO}$, или $A + \frac32 \overrightarrow{AD}$, и достроение чертежа вправо сделает это весьма наглядным. Значит, $D = A + \frac23 (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE})$, откуда координаты этой точки $(\frac23, \frac23)$.

Выразив $\overrightarrow{AO}$, теперь легко найти оставшиеся $B, F$.

[StepV]

arseniiv в сообщении #1502066 писал(а):

Выглядит очень неудобно.

Задача явно учебная, поэтому тут важно не удобство, а какому курсу математики должно соответствовать решение. Если задачу задали по теме пересчет координат из одного базиса в другой, то пришлось бы решать именно по этому алгоритму.

[arseniiv]

StepV в сообщении #1502082 писал(а):

Если задачу задали по теме пересчет координат из одного базиса в другой, то пришлось бы решать именно по этому алгоритму.

Но тогда очень вероятно дали бы координаты в исходном базисе уже готовые, чтобы не отвлекать.