Распределение решений линейной системы

[ziv]

Добрый день!
Допустим, дана система:

$$\dot{x}=Ax,\quad t\in [0,t_1], \quad x(0)\in X^0=\{x^0\in \mathbb{R}^n: \|x^0\|\leq1 \}.$$

Возник следующий вопрос. Предположим, что мы взяли равномерное распределение точек начального множества. Как определить, будет ли равномерным распределение концевых точек траекторий?

Если использовать метод простого проецирования на сферу, т.е. описать единичный куб вокруг сферы единичного радиуса, на котором равномерно сгенерировать точки, а затем нормировать полученные векторы, то получим допустимый набор начальных значений для исходной системы. Решением системы выступает $x(t)=e^{At}x^0$. Но как связать первое и второе между собой...
Рассмотрим одномерный случай при $A=1$ и $X^0=\{x^0\in \mathbb{R}: |x^0|\leq 1\}$. В этом случае $x(x^0)=e^{t_1}\cdot x^0$. Если случайная величина $X^0$ имеет равномерное распределение, т.е.

$$p_{X^0}(x^0)=\begin{cases} \frac{1}{2},&\text{если $x^0\in (-1,1)$;}\\ 0,&\text{если $x^0\notin (-1,1)$,} \end{cases}$$

то плотность распределения

$$p_{X}(x)=\begin{cases} \frac{1}{2e^{t_1}},&\text{при $x\in (-e^{t_1},e^{t_1})$;}\\ 0,&\text{вне интервала $(-e^{t_1},e^{t_1})$.} \end{cases}$$

по свойству $p_Y(y)=p_X[g(y)]|g'(y)|=p_X(x)|\frac{dx}{dy}|$
В итоге имеем равномерное распределение.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи;
- в условии распределение именно "некоторое", никакие дополнительные условия на него не налагаются?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[alisa-lebovski]

Во многомерном случае не должно быть сжатий и растяжений с разными коэффициентами.
Действительные части всех собственных значений $A$ должны быть равны.

[ziv]

alisa-lebovski в сообщении #1503405 писал(а):

Во многомерном случае не должно быть сжатий и растяжений с разными коэффициентами.
Действительные части всех собственных значений $A$ должны быть равны.

alisa-lebovski, спасибо. А если распределение начального множества не так важно, а важно, чтобы конечное было равномерным?
И может кто-то подскажет что почитать на эту тему.

[alisa-lebovski]

ziv в сообщении #1503407 писал(а):

А если распределение начального множества не так важно, а важно, чтобы конечное было равномерным?

Надо взять преобразование в обратную сторону - $e^{-At}$.

[ziv]

А какая литература есть про многомерные распределения? В сторону практики (примеров) больше.

[alisa-lebovski]

Я спутала, извините. Распределение по-любому переходит из равномерного в равномерное, если матрица невырожденная. Потому что якобиан постоянный. Только область, где оно будет, меняется.

Нашла, например - https://elib.spbstu.ru/dl/2/3058.pdf/download/3058.pdf