Почему вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения?

[arseniiv]

Ага, да. В формализме бивекторов можно получить поворот, беря экспоненту. Притом, что чудесно (но не очень удивительно), в пространствах (начиная с четырёхмерного) где можно поворачиваться сразу в нескольких ортогональных плоскостях одновременно, нам всё так же достаточно экспоненцировать соответствующий (неразложимый) бивектор. Экспоненту можно брать как в смысле алгебры Ли, так и например более топорно, вложив бивекторы в алгебру Клиффорда (там экспонента будет определяться своим обычным рядом).