Кольцо и диск

[fred1996]

Тонкое кольцо радиуса $R_1$ и тонкий диск радиуса $R_2$ расположены соосно на некотором расстоянии друг от друга.
Кольцо равномерно заряжают зарядом $q$. Силовая линия, которая выходит с поверхности кольца под углом $\varphi$ относительно плоскости кольца проходит так, что задевает край диска.
Далее диск заряжают равномерно таким же зарядом $q$.
Определить силу взаимодействия между кольцом и диском.

[AnatolyBa]

Как говорится, +++

[realeugene]

(Оффтоп)

$\frac{q^2 \varphi}{2\pi\varepsilon_0}$

[fred1996]

AnatolyBa
realeugene

Все верно.
Я обнаружил эту задачу в республиканской якутской олимпиаде. Задачка не шибко сложная, но идея мне показалась красивая. Особенно вкупе с идеями телесных углов и потоков, которые тут обсуждаются последнее время.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1500040 писал(а):

Я обнаружил эту задачу в республиканской якутской олимпиаде.

Любопытно. Предполагается, что школьники умеют записывать поверхностные интегралы? Впрочем, я сам умел.

[Ignatovich]

realeugene, кажется, проблемы с размерностью в вашем ответе.

[fred1996]

realeugene
По-моему Гаусса в школе проходят. А в ответе действительно надо ещё разделить на площадь диска.

[realeugene]

Ignatovich в сообщении #1500070 писал(а):

realeugene, кажется, проблемы с размерностью в вашем ответе.

Вы правы, ошибся при устном счёте, там для диска в формуле не заряд, а поверхностная плотность заряда

$$F=\frac{q \rho_2 \varphi}{2 \pi \varepsilon_0}=\frac{q^2 \varphi}{2 \pi^2 R_2^2 \varepsilon_0}$$

[Ignatovich]

fred1996 в сообщении #1500087 писал(а):

А в ответе действительно надо ещё разделить на площадь диска

Мне кажется, что такой ответ будет в случае, если кольцо сделано из тонкой проволоки круглого сечения, и радиус кольца больше радиуса диска.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1500087 писал(а):

По-моему Гаусса в школе проходят.

Но всё же не в форме поверхностного интеграла, как мне кажется, а в виде суммы по конечному числу кусков поверхности, когда поток через каждый кусок поверхности считается достаточно просто из соображений симметрии. Впрочем, на физических олимпиадах достаточно высокого уровня всегда предполагалось понимание математики, выходящее за школьную программу.

-- 10.01.2021, 17:02 --

Ignatovich в сообщении #1500091 писал(а):

Мне кажется, что такой ответ будет в случае, если кольцо сделано из тонкой проволоки круглого сечения, и радиус кольца больше радиуса диска.

Тонкая проволока - да, это есть в условии. Угол с поскостью задан с точностью до $\pi-\varphi$, разумеется.

[Ignatovich]

realeugene в сообщении #1500093 писал(а):

Тонкая проволока - да, это есть в условии.

Этого в условии нет. Сделайте тонкое кольцо из плоской ленты и, кажется, возникнут трудности.

[drug39]

Мне кажется, в ответе должен быть эллиптический интеграл, но я ещё сильно не думал.
Что есть поверхность у тонкого кольца?

[AnatolyBa]

Ignatovich в сообщении #1500097 писал(а):

Этого в условии нет. Сделайте тонкое кольцо из плоской ленты и, кажется, возникнут трудности.

Да, это недочет в условии. Изуродовав кольцо можно получить любое $\varphi$. Но тут как бы презумпция олимпиадности действует.

[fred1996]

Наверное действительно надо отдельно прописать, что сечение кольца круглое, а тонкое означает, что радиус сечения много меньше радиуса кольца $r<<R_1$
То есть вблизи поверхности кольца поле можно считать как поле от бесконечного цилиндра.
Это в задаче чётко не прописано. Видимо школьники должны были сами догадаться.

[drug39]

На промежуточном этапе решения следует найти расстояние $h$ между плоскостями диска и кольца. Думаю, без этого никак. Всё для этого есть уже из первой части условия. Задача не простая и отнюдь не олимпиадная. А дальше тоже ничего интересного, потребуется неконический телесный угол... Вместо кольцо и диск можно было просто писать окружность и круг.