Может я, конечно, глубоко и не прав, но...
Без ограничения общности можно считать, что

и нужно доказать наличие хотя бы одного корня функции

на

(ибо если число корней конечно, то можно сдвинуть всё это дело влево, рассмотрев

вместо

и домножив при необходимости на

).
Записав уравнение в виде

и проинтегрировав обе части, имеем
Предположим, что

при всех

. Тогда под интегралом стоит положительная функция и

убывает с ростом

. Ясно, что если

принимает хоть где-то отрицательное значение, то это невозможно. Значит, интеграл
при всех

. Но поскольку
то функция

обязана где-то убывать и

таки принимает отрицательные значения. Что и доказывает нужный нам факт.