Отрицательная мощность множества

[Sicker]

Можно ввести так называемые множества отрицательной мощности элементов, вроде $|A|<0$ при рассмотрении кругов Эйлера. Т.е. если у нас есть $n$ произвольных множеств положительной мощности, то их отношение друг с другом выражается в описании мощности их пересечений, объединений и т.д., которые имеют определенные свойства. Можно сохранить эти свойства, если допустить формальные отрицательные пересечения и т.д. Вопрос интерпретации этого вторичен
Например для двух множеств $A$ и $B$ мощностью $5$ пересечение может иметь мощность $-2$, тогда их дополнения имеют мощность $7$ и т.д.

[Otta]

Так определение-то где?

[warlock66613]

Назовём множеством со знаком $M$ пару множеств $(+M, -M)$. Про элементы $x \in +M$ будем говорить, что они входят в $M$ с положительным знаком, а про элементы $x \in -M$ — что они входят в $M$ с отрицательным знаком. Мощностью $M$ назовём разность $\lvert +M \rvert - \lvert -M \rvert =: \lvert M \rvert$.

Объединение: $A \cup B := (+A \cup +B, -A \cap -B)$.
Пересечение: $A \cap B := (+A \cap +B, -A \cup -B)$.

Тогда
\begin{equation*}\begin{split}\lvert A \cup B \rvert + \lvert A \cap B \rvert &= \lvert +A \cup +B \rvert - \lvert -A \cap -B \rvert + \lvert +A \cap +B \rvert - \lvert -A \cup -B \rvert = \\ &= \lvert +A \rvert + \lvert +B \rvert - \lvert +A \cap +B \rvert - \lvert -A \cap -B \rvert + \lvert +A \cap +B \rvert - \lvert -A \rvert - \lvert -B \rvert + \lvert -A \cap -B \rvert = \\ &= \lvert +A \rvert + \lvert +B \rvert - \lvert -A \rvert - \lvert -B \rvert = \\ & = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert\end{split}\end{equation*}

Ну и т. д.

[Legioner93]

Sicker в сообщении #1499276 писал(а):

Т.е. если у нас есть $n$ произвольных множеств положительной мощности, то их отношение друг с другом выражается в описании мощности их пересечений, объединений и т.д., которые имеют определенные свойства. Можно сохранить эти свойства, если допустить формальные отрицательные пересечения и т.д.

Главное свойство таких отношений -- формула включений-исключений

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

По вашему получается, что мощность объединения множеств может быть больше суммы их мощностей, что как-то не очень хорошо

[Sicker]

warlock66613
Т.е. наглядно это можно обосновать так - имеем пересечение/объединение множеств X и Y, потом из этих множеств убираем какие-то элементы (они будут отрицательными элементами нашего множества со знаком, оставшиеся - положительные), и смотрим, что получается - все, что осталось будет положительным, что удалилось - отрицательным

Legioner93 в сообщении #1499285 писал(а):

По вашему получается, что мощность объединения множеств может быть больше суммы их мощностей, что как-то не очень хорошо

Ну почему, вот в физике масса ядра больше массы составляющих его ядер

[alisa-lebovski]

Поздравляю, Вы открыли заряд (в ТФФА).

[StepV]

warlock66613

warlock66613 в сообщении #1499284 писал(а):

Назовём множеством со знаком $M$ пару множеств $(+M, -M)$.

У меня предложение эту пару рассматривать, как вектор. Мне кажется, для каждой компоненты надо оставить однотипные операции, а для разных компонент ввести что-то типа дистрибутивного закона.
Должно получиться еще красивее!

[Someone]

Sicker в сообщении #1499276 писал(а):

Можно ввести …

А зачем? У Вас есть задача, которая без этого не решается или решается слишком сложно?

[StepV]

warlock66613 в сообщении #1499284 писал(а):

Назовём множеством со знаком $M$ пару множеств $(+M, -M)$

В прошлом посте на эту тему, я предложил рассматривать такое множество, как двухкомпонентный вектор. Каждая компонента подчиняется стандартным операциям над множеством, только мощность дается как разность мощностей компонент вектора.
Задумался над тем, что должен еще быть "дистрибутивный" закон, по которому можно будет сравнивать элементы множеств $+A$ и $-A$ . По этому вопросу возникает удивительное положение, что для того, чтобы были возможны такие операции, необходимо ввести сопряженный вектор $(+M_1, -M_2)^* =(-M_2, +M_1)$.
Тогда операция $M_1(+A_1,-B_1) \cup M_2^*(+A_2,-B_2)$ должна сводиться к покомпонентной операции "разности множеств", т.е. получается в итоге множество
$M(+A_1 \diagdown -B_2,-B_1 \diagdown +A_2)$.
Тип результирующего множества будет зависеть от мощности множеств, которые составляют компоненты вектора.
В результате введения сопряжения мы получим для такого множества четыре основных варианта:
$(+M, -M)$; $(-M, +M)$; $(+M, +M)$; $(-M, -M)$.

Исправленная версия.

[arseniiv]

StepV в сообщении #1499345 писал(а):

По этому вопросу возникает удивительное положение, что для того, чтобы были возможны такие операции, необходимо ввести сопряженный вектор $(+M, -M)^* =(-M, +M)$.

Не надо смену знака называть сопряжением, плохие идеи в голову лезть будут.

[StepV]

arseniiv в сообщении #1499350 писал(а):

Не надо смену знака называть сопряжением, плохие идеи в голову лезть будут

Спасибо за верное замечание. Успел исправить в основном посте. Просто пока разберусь с LaTex, теряется точность выражения мысли. Т.к. делаю два дела одновременно. Конечно, имелось ввиду, что $(+A,-B)^*=(-B,+A)$.
Ниже по тексту поста это свойство используется именно в этом контексте.

[B@R5uk]

warlock66613 в сообщении #1499284 писал(а):

Объединение: $A\cup B:=(A_+\cup B_+,\;A_-\cap B_-)$.

Что-то не нравится мне такое объединение. Что если $A_+\cap B_-\ne\varnothing$ и/или $B_+\cap A_-\ne\varnothing$? Дубликаты элементов справа и слева — ничего? Ошибся. Положительная и отрицательная компоненты множества не являются взаимосимметричными. То есть объединение множеств с обратным знаком не даст объединение с обратным знаком множеств. В этом плане название "сопряжение" для операции перестановки положительной и отрицательной частей оправдано.

[warlock66613]

B@R5uk в сообщении #1499468 писал(а):

Дубликаты элементов справа и слева — ничего?

Я не придумал как от них избавиться, точно не сломав ничего.

[B@R5uk]

Другими словами, при таком введении объекта, операция смены знака и операция объединения на нём не коммутируют. Даже не знаю, считать ли это недостатком или фичей. Наверное, это зависит от того, какие задачи планируется решать с помощью этого объекта. Хотя даже без практической привязки тема интересная.

[StepV]

B@R5uk в сообщении #1499468 писал(а):

Что-то не нравится мне такое объединение. Что если $A_+\cap B_-\ne\emptyset$ и/или $B_+\cap A_-\ne\emptyset$?

По-видимому, необходимо, чтобы требование $A_+\cap B_- =\varnothing$ обязательно выполнялось. Фактически элементы множества по некоторому свойству $(+,-)$ разделили на два подмножества, которые не пересекаются. И само объединение подмножеств {$+A \cup -B$} ведет к взаимному уничтожению части элементов, что и приводит нас к выражению $|M| = |+A| - |-B|$.