Условность формулы Эйлера

[Vladimir Pliassov]

Задача настоящего сообщения - снять в глазах непосвященных мистический покров с выражения "возведение числа в комплексную степень".

Для посвященных сообщение не несет новой информации.

За основу берется §5 гл.II учебника Д.К.Фаддеева в https://scask.ru/q_lect_alg.php?id=29 , стр.49-52.

Рассматривать вопрос будем на примере только одного вещественного положительного числа $e$ в его выражении $\lim \limits_{n\to \infty}\Bigg (1+\frac {1}{n}\Bigg )^n$.


Фаддеев пишет, что соображения, лежащие в основе определения показательной функции $a^x$ для вещественной переменной $x$,

Цитата:

никак не применимы к попыткам распространить показательную функцию на комплексные значения показателя, и что такое, например, $2^{1+i}$ -- совершенно непонятно. (стр.49)

То есть вопрос с комплексным показателем степени надо решать как-то иначе, чем с вещественным показателем.

Далее он пишет, что

$$e^{a+bi}=e^a (\cos b+i\sin b)$$

Цитата:

это определение, и потому данная формула не доказывается, можно лишь искать доводы в пользу разумности и целесообразности такого определения.

прибавляя, что

Цитата:

Математический анализ дает очень много доводов этого рода. (стр.50)

Здесь $a+bi=x,$ где $x$ -- комплексное число.

Далее:

Цитата:

Известно, что при вещественном $x$ имеет место предельное соотношение: $e^x=\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$. В правой части находится многочлен, имеющий смысл и при комплексных значениях для $x$. (стр.50)

То есть в этой формуле имеет смысл только правая часть, а левая часть является просто обозначением правой части, и не более того.

Это подтверждается дальнейшими рассуждениями, которые касаются только правой части.

В результате этих рассуждений (которые Фаддеев называет несложными) мы (вместе с ним) приходим к формуле

$$e^{a+bi}=e^a (\cos b+i\sin b),$$

где комплексное число, обозначенное $e^{a+bi}$, выражается в тригонометрической форме $e^a (\cos b+i\sin b).$

Здесь $e^a$ это вещественное число, а $\cos b+i\sin b=e^{bi}$ -- комплексное число, по модулю равное единице (направление этой "единицы" определяется аргументом $b$).

В общей форме

$$e^{a+bi}=e^a (\cos b+i\sin b)$$

может быть записано как

$$\alpha=r(\cos \varphi+i\sin \varphi).$$

Таким образом возведение числа $e$ в (невозможную) комплексную степень $x$ подменяется операцией нахождения предела $\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$.

Тем не менее эта операция называется возведением числа $e$ в комплексную степень $x$ (возведением числа $e$ в степень с комплексным показателем $x$.).

Конечно -- назвать можно что угодно чем угодно!

Разумеется, я не пытаюсь принизить значение формулы (во всяком случае ее правой части), но, на мой взгляд, следует понимать, что, вообще, "возведение числа в комплексную степень" это условное выражение.

[Sender]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499084 писал(а):

Таким образом возведение числа $e$ в (невозможную) комплексную степень $x$ подменяется операцией нахождения предела $\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$.

А возведение числа в даже, казалось бы, вполне удобоваримую натуральную степень подменяется произведением соответствующего числа одинаковых сомножителей, ничему верить нельзя.

[Vladimir Pliassov]

(Оффтоп)

Да, всюду жульничество!

[arseniiv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499084 писал(а):

Рассматривать вопрос будем на примере только одного вещественного положительного числа $e$ в его выражении $\lim \limits_{n\to \infty}\Bigg (1+\frac {1}{n}\Bigg )^n$.

Надо заметить, что возведение числа в комплексную степень (вещественного ли, комплексного ли) — многозначное, а экспонента — функция однозначная, так что строго говоря $e^z \ne\exp z$. Правильным будет

$$e^z = \exp (z \operatorname{Ln} e) = \exp z \exp 2\pi i n z, n\in\mathbb Z.$$

Когда $z$ целое, то для любого $n$ мы получаем лишь один результат — $\exp z$. Если $z$ рациональное со знаменателем $d$, то мы получаем $d$ результатов (см. комплексные корни $d$-й степени). Если наконец ничего такого нет, значения $2\pi i n z$ не повторяются ${}\bmod 2\pi$ и мы имеем бесконечный набор значений.

Так будет с любым основанием степени кроме единицы, не только $e$.

-- Вт янв 05, 2021 20:30:37 --

И конечно иногда пишут $e^z$ для обозначения экспоненты, но раз в этой теме имеется в виду именно возведение $e$ в степень, то аргумент выше важен.

-- Вт янв 05, 2021 20:53:43 --

Я бы объяснял возведение в комплексную степень иначе (и не буду в этом первым).

1. Самым простым аргументом, и немного топорным, но тем не менее и достаточно убедительным, будет такой. Возведение числа $a > 0$ в вещественную степень $x$ можно определить просто как $\exp (x \ln a)$. Когда мы узнаём, что комплекснозначный логарифм «по-хорошему» — многозначный $\operatorname{Ln}$, а экспонента, слава Диэдру, остаётся однозначной (определять ли её как ряд, функциональным или дифференциальным уравнением, или так уж и быть пределом выше — безразлично, ибо она так хороша, что все эти вещи дают одно и то же и всюду определены), то здравоосмысленно рассмотреть выражение $\exp (z \operatorname{Ln} a)$ в качестве определения $a^z$, обобщающего $a^x$.

2. Если мы рассмотрим произвольную показательную функцию как непрерывное решение $f$ функционального уравнения $f(z + w) = f(z) f(w)$, то если мы не запутаемся в работе с многозначными функциями именно таким образом, как это осмысленно делать в ТФКП, то мы наверно придём к тому же определению $f(z) = \exp (z \operatorname{Ln} a)$. Не проверял, но должно бы работать. Аналогично мы можем попробовать порешать дифур $f'(z) = f(z) \operatorname{Ln} a$. Или может быть так одна из частей даст лишь подмножество значений второй, но хоть что-то.

Вообще возведение в (нецелочисленную, нерациональночисленную, невещественную) степень не так уж вроде полезно как собственно экспонента. А с экспонентой всё очень замечательно, у неё остаются все ровно те же мотивации, что были в вещественном случае или будут в случае каких-нибудь там банаховых алгебр. И все её определения достаточно понятны, и сходимость её ряда довольно легко видится, и тому подобное. Воистину лучшая функция после многочленов.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499084 писал(а):

следует понимать, что, вообще, "возведение числа в комплексную степень" это условное выражение.

Вообще-то все в математике "условно". Сначала аксиоматически вводится понятие множества, потом на нем постулируется наличие определенных структур/отношений (отношение порядка, другие бинарные отношения, n-арные отношения, топология и т.д.), которые удовлетворяют некоторым аксиомам. Натуральные, целые, рациональные и другие числа, пространства и т.д. это все примеры (или "модели") таких структур.

И когда одно множество расширяется за счет добавления новых элементов, то на эти новые элементы (точнее, на расширенное множество в целом) расширяют операции исходной структуры так, чтобы это расширение, во-первых, было согласовано с исходным множеством, а во-вторых, удовлетворяло аксиомам уже расширенного множества/структуры. Как, например, вы определите сложение, умножение и возведение в степень иррациональных чисел? Только за счет продолжения их "по непрерывности" с соответствующих операций на рациональных числах. Почитайте Фихтенгольца, там это хорошо описано.

И когда мы потом расширяем поле вещественных чисел до поля комплексных, то все операции аналогично расширяются и туда. Просто человеку привычнее всего натуральные числа и сложение палочек, поэтому операции над ними могут казаться "более настоящими". Но на самом деле, никакой разницы в "настоящести" на каждом из этапов такого расширения нет, и существующие правила для возведения чисел в комплексную степень настолько же логичные и "настоящие" (или, если хотите, настолько же "условные"), как и правила для возведение чисел в целую и вещественную степени.

Для дополнительной мотивации для определения $e^{a+bi}=e^a (\cos b+i\sin b)$ рекомендую также разложить обе части выражения в ряд, сначала начиная с более простого случая $e^{bi}=\cos b+i\sin b$. Так для вас будет еще нагляднее почему так получается. Если не знаете как они разлагаются - почитайте про разложение в ряд Тейлора.

Также для общего понимания рекомендую статью Бурбаки "Архитектура математики". Несмотря на "страшное" имя автора, она очень простая и понятная. Это чтение на один вечер, и вам, думаю, будет полезно.

[Vladimir Pliassov]

(Оффтоп)

Хорошо, если осознаю, напишу покаянное письмо.

За Бурбаки спасибо!

[B@R5uk]

Ряд чисел "целые числа -> рациональные числа -> вещественные числа -> комплексные числа", которые являются степенями, можно дополнить матрицами. Экспонента от комплекснозначной матрицы очень даже нужная и ходовая вещь в квантовой механике.

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1499099 писал(а):

то мы наверно придём к тому же определению $f(z) = \exp (z \operatorname{Ln} a)$.

Придем конечно. На вещественной прямой всё просто, а дальше теорема о единственности.

B@R5uk в сообщении #1499173 писал(а):

Ряд чисел "целые числа -> рациональные числа -> вещественные числа -> комплексные числа", которые являются степенями, можно дополнить матрицами

А можно и сразу от вещественных чисел к матрицам перейти (тем более что комплексные числа - тоже матрицы).

(Оффтоп)

Да и от целых сразу к вещественным, но лучше не надо.

Vladimir Pliassov, у вас претензии к вещественной экспоненте есть? Если нет, то комплексная из неё строится не только такими странными явными построениями, но и красивым неявным аналитическим продолжением [не уверен, что все теоремы, нужные для аналитического продолжения, доказываются без использования экспоненты, но в крайнем случае можно же временно ввести "псевдоэкспоненту" чисто для их доказательства].

[Vladimir Pliassov]

arseniiv в сообщении #1499099 писал(а):

Когда $z$ целое, то для любого $n$ мы получаем лишь один результат — $\exp z$. Если $z$ рациональное со знаменателем $d$, то мы получаем $d$ результатов (см. комплексные корни $d$-й степени). Если наконец ничего такого нет, значения $2\pi i n z$ не повторяются ${}\bmod 2\pi$ и мы имеем бесконечный набор значений.

Так будет с любым основанием степени кроме единицы, не только $e$.

Это понятно, кроме "значения $2\pi i n z$ не повторяются ${}\bmod 2\pi.$"

arseniiv в сообщении #1499099 писал(а):

Надо заметить, что возведение числа в комплексную степень (вещественного ли, комплексного ли) — многозначное, а экспонента — функция однозначная, так что строго говоря $e^z \ne\exp z$. Правильным будет

$$e^z = \exp (z \operatorname{Ln} e) = \exp z \exp 2\pi i n z, n\in\mathbb Z.$$

Зачем в $\exp (z \operatorname{Ln} e)$ умножать $z$ на $\operatorname{Ln} e$, ведь $\operatorname{Ln} e=1$?

$ \exp z $ это $\exp (z)$?

$\exp 2\pi i n z=1$?

-- 05.01.2021, 22:46 --

mihaild в сообщении #1499190 писал(а):

Vladimir Pliassov, у вас претензии к вещественной экспоненте есть? Если нет, то комплексная из неё строится не только такими странными явными построениями, но и красивым неявным аналитическим продолжением [не уверен, что все теоремы, нужные для аналитического продолжения, доказываются без использования экспоненты, но в крайнем случае можно же временно ввести "псевдоэкспоненту" чисто для их доказательства].

(Оффтоп)

Претензий к вещественной экспоненте пока не имею, но я с ней еще мало знаком.

-- 05.01.2021, 22:50 --

mihaild в сообщении #1499190 писал(а):

А можно и сразу от вещественных чисел к матрицам перейти (тем более что комплексные числа - тоже матрицы).

Да и вещественные числа тоже матрицы.

[arseniiv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499205 писал(а):

Это понятно, кроме "значения $2\pi i n z$ не повторяются ${}\bmod 2\pi.$"

То есть значения $2\pi i n z \bmod 2\pi$ все разные, или, иначе, $2\pi i n_1 z \not\equiv 2\pi i n_2 z \pmod{2\pi}$ при $n_1\ne n_2$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499205 писал(а):

Зачем в $\exp (z \operatorname{Ln} e)$ умножать $z$ на $\operatorname{Ln} e$, ведь $\operatorname{Ln} e=1$?

$\ln e = 1$, но $\operatorname{Ln} e = 1 + 2\pi i n, n \in\mathbb Z$ многозначный.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499205 писал(а):

$ \exp z $ это $\exp (z)$?

Ага.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499205 писал(а):

$\exp 2\pi i n z=1$?

Только если $z$ делит $n$.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499205 писал(а):

Претензий к вещественной экспоненте пока не имею, но я с ней еще мало знаком.

Тогда начните с нее. А еще до экспоненты - с тем, как сложение и умножение целых чисел переносятся на рациональные и потом на вещественные так, чтобы соблюдались те же правила для этих операций (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, согласование с порядком, единичный элемент, плюс обратный элемент когда он есть).

Не нужно перепрыгивать естественный порядок введения новых понятий. Если хотите читать что-то просто как научпоп - это одно дело, но если хотите в чем-то разобраться - так не получится. Ну или придется часто возвращаться обратно и до тех пор стоит быть осторожнее с высказываниями.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499205 писал(а):

Это понятно, кроме "значения $2\pi i n z$ не повторяются ${}\bmod 2\pi.$"

А вы знаете что такое сравнение по модулю?

Vladimir Pliassov в сообщении #1499205 писал(а):

Да и вещественные числа тоже матрицы.

Ну да, а натуральные числа тоже вещественные и даже комплексные. Но когда в данном контексте говорят про матрицы, то имеют в виду нечто более нетривиальное, чем матрицы с одинаковыми вещественными числами на главной диагонали и остальными элементами равными нулю.

Вы, кстати, понимаете, как именно комплексные числа можно вводить как матрицы, и, соответственно, операции с ними - как операции с матрицами? И как комплексные числа соотносятся с векторами?

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1499233 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1499205 писал(а):

Это понятно, кроме "значения $2\pi i n z$ не повторяются ${}\bmod 2\pi.$"

А вы знаете что такое сравнение по модулю?

Для целых чисел, но тут $\pi.$

Odysseus в сообщении #1499233 писал(а):

Вы, кстати, понимаете, как именно комплексные числа можно вводить как матрицы, и, соответственно, операции с ними - как операции с матрицами? И как комплексные числа соотносятся с векторами?

Кроме того, что векторы можно умножать на комплексные числа, комплексные числа относительно операции сложения можно рассматривать как векторы и, значит, как одномерные матрицы второго порядка, то есть их можно складывать, как такие матрицы.

Что же касается перемножения, то здесь прямой аналогии, как я понимаю, нет, но, может быть, есть какая-то другая?

[mihaild]

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1499205 писал(а):

но я с ней еще мало знаком

плохо согласуется с

Vladimir Pliassov в сообщении #1499084 писал(а):

Задача настоящего сообщения - снять в глазах непосвященных мистический покров

Если вы еще не разобрались в материале - то ИМХО стоит повременить со "снятием покровов".

[arseniiv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499242 писал(а):

Для целых чисел, но тут $\pi.$

А, ну этого не бойтесь. Определения остаются такими же:

Сравнение по модулю: $x \equiv y \pmod m$ ровно тогда, когда найдётся целое $N$ такое, что $(x - y) = mN$.

Взятие остатка: $x \bmod m = x - \lfloor x / m \rfloor m$.

И их связь остаётся верной тоже: $x \equiv y \pmod m \Longleftrightarrow x \bmod m = y \bmod m$. (Только в случае $m = 0$ надо специально считать, что $x \bmod 0 = x$, ибо эквивалентность по модулю нуля есть равенство.)

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499205 писал(а):

Да и вещественные числа тоже матрицы.

Вещественные числа - матрицы над вещественными числами, что неинтересно (их нельзя ввести как матрицы). А вот комплексные числа можно ввести как матрицы над вещественными (это подкольцо в кольце матриц).

Vladimir Pliassov в сообщении #1499242 писал(а):

Что же касается перемножения, то здесь прямой аналогии, как я понимаю, нет, но, может быть, есть какая-то другая?

Комплексные числа можно вложить в кольцо матриц $2\times 2$ над $\mathbb{R}$ (и операции с комплексными числами будут соответствовать аналогичным операциям с матрицами).