Лемма в Зориче, позиционная система счисления.

[Lord Kisel]

Если фиксировать число $q>1$, то для любого положительного числа $x \in \mathbb{R}$ найдется и притом единственное целое число $k \in \mathbb{Z}$ такое, что $q^{k-1} \leqslant x < q^k$
Не понимаю момент в доказательстве.
Сначала проверяется, что множество чисел вида $q^k, k \in \mathbb{N}$, не ограничено сверху. Потом, что для любого числа $c \in \mathbb{R}$ найдется такое натуральное число $N \in \mathbb{N}$, что при любом натуральном $n > N$ будет $ c < q^n$. Следовательно для любого числа $\varepsilon > 0$ найдется число $M \in \mathbb{N}$ такое, что при всех натуральных $m > M$ будет $\frac{1}{q^m}<\varepsilon$.
И сразу же утверждается, что $\left\lbrace m \in \mathbb{Z}\, |\, x<q^m \right\rbrace $ ограничено снизу. Не понимаю как связать ограниченность с предыдущими предложениями.

[mihaild]

Lord Kisel в сообщении #1498679 писал(а):

для любого числа $\varepsilon > 0$ найдется число $M \in \mathbb{N}$ такое, что при всех натуральных $m > M$ будет $\frac{1}{q^m}<\varepsilon$

Подставьте сюда $\varepsilon = x$ и учтите, что $\frac{1}{q^m} = q^{-m}$.

[Lord Kisel]

mihaild
Для числа $x$ найдется число $M \in \mathbb{N}$ такое, что при всех натуральных $m > M$ будет $\frac{1}{q^m}<x$. Тогда для числа $-M$ выполнено, что при всех отрицательных $l<-M$ будет $q^{l}<x$, значит $ l \notin \left\lbrace m \in \mathbb{Z}\, |\, x<q^m \right\rbrace $. Получаем, если $ l \in \left\lbrace m \in \mathbb{Z}\, |\, x<q^m \right\rbrace $, то $l \geqslant -M$. Правильно?

[mihaild]

Да, так.