2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дополнительный минор и «Три мушкетера».
Сообщение27.12.2020, 18:20 


07/05/13
102
Прямо с утра:

Вижу, что-то неладно в мире,
Хорошо бы заняться им.

В самом деле: почему три мушкетера, когда их, как минимум, четыре?
Ну, это ладно. Писатель, вития, живет страстями. Простительно.

А вот почему если $A$ — квадратная матрица порядка $n$, то минор порядка ${n-1}$, получаемый вычеркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца, называется дополнительным минором элемента $a _{i,j}$ ?
Ведь он от $a _{i,j}$ не зависит, так же как и соответствующее алгебраическое дополнение $A _{i,j}$.

Помимо несуразности, такое определение сбивает студентов с толку.

На пример. Я говорю, что $ \sum _i   a _{i,k}  A_{i,j} =0 $ потому, что это определитель матрицы, в которой два одинаковых столбца, на что мне возражают, что если в матрице нет элемента $a _{i,j}$ , то нет и его алгебраического дополнения, так что эта запись смысла не имеет. Если следовать определению, то такое соображение напрашивается, к тому же подкрепляется распространенным суеверием, что матрица – это прямоугольная таблица чисел.
Я стал говорить "минор $i,j$", а "алгебраическое дополнение" из лексикона изгнал. Конечно, приходится заметить, что исторически сложилось то-то и то-то. А вы как поступаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнительный минор и «Три мушкетера».
Сообщение27.12.2020, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4936
Москва
Alexey Rodionov в сообщении #1498006 писал(а):
почему если $A$ — квадратная матрица порядка $n$, то минор порядка ${n-1}$, получаемый вычеркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца, называется дополнительным минором элемента $a _{i,j}$ ?
По определению, а с определениями не спорят.
На рукомашестве - это максимальный минор, не включающий $a_{i.j}$, поэтому он "дополняет" этот элемент в матрице. Вас же не смущает, что дополнение множества с ним не пересекается?
Alexey Rodionov в сообщении #1498006 писал(а):
на что мне возражают, что если в матрице нет элемента $a _{i,j}$ , то нет и его алгебраического дополнения, так что эта запись смысла не имеет
Ну значит лучше объясняйте, потому что это возражение свидетельствует о непонимании определений.
Alexey Rodionov в сообщении #1498006 писал(а):
Я стал говорить "минор $i,j$", а "алгебраическое дополнение" из лексикона изгнал.
Зря. "Дополнительный минор" - это стандартный термин, его незнание усложнит студентам жизнь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнительный минор и «Три мушкетера».
Сообщение27.12.2020, 21:02 


07/05/13
102
Цитата:
По определению, а с определениями не спорят.

Еще как спорят. Благодаря этому определения эволюционируют. Примеры нужны?
Цитата:
На рукомашестве - это максимальный минор, не включающий $a_{i.j}$, поэтому он "дополняет" этот элемент в матрице.

$a_{i.j}=1$, или 2, или 8, а дополнительный минор один и тот же. Может быть, этот минор что-то дополняет, но не элемент.
Цитата:
Зря. "Дополнительный минор" - это стандартный термин, его незнание усложнит студентам жизнь.

Почему "незнание". Я студентам говорю, что исторически сложилось то-то и то-то. Но сложилось плоховато. Лучше не повторять.
Вот, на пример:
Владыка решение консисторское о назначении следствия хером перечеркнул и все тем негласно успокоил.
Лесков. Соборяне. 4, 2.
Раньше вполне прилично звучало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнительный минор и «Три мушкетера».
Сообщение27.12.2020, 23:20 


14/01/11
2607
Alexey Rodionov в сообщении #1498036 писал(а):
Может быть, этот минор что-то дополняет, но не элемент.

Элемент матрицы - это не только ценный мех число, но и его положение в матрице. Надеюсь, вы не отказываете неинъективным отображениям в праве именоваться отображениями?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнительный минор и «Три мушкетера».
Сообщение27.12.2020, 23:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4936
Москва
Alexey Rodionov в сообщении #1498036 писал(а):
Благодаря этому определения эволюционируют.
Нет, определения придумывают новые, и потом (редко) оказывается, что на фоне нового класса объектов старый никому не нужен, и старые определения забываются.
В любом случае, польза может быть только от придумывания нового содержания. От замены слов пользы быть не может.
Alexey Rodionov в сообщении #1498036 писал(а):
Но сложилось плоховато. Лучше не повторять
Вы вряд ли сможете поменять сложившиеся традиции. А вот вашим студентам в результате станет сложнее читать и писать математические тексты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнительный минор и «Три мушкетера».
Сообщение28.12.2020, 00:20 
Аватара пользователя


16/03/17
468
mihaild в сообщении #1498009 писал(а):
Вас же не смущает, что дополнение множества с ним не пересекается?

На это так и не было ответа от ТС, но это очень хорошее сравнение и вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнительный минор и «Три мушкетера».
Сообщение28.12.2020, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17571
Москва
Alexey Rodionov в сообщении #1498006 писал(а):
Помимо несуразности, такое определение сбивает студентов с толку.

На пример. Я говорю, что $ \sum _i   a _{i,k}  A_{i,j} =0 $ потому, что это определитель матрицы, в которой два одинаковых столбца, на что мне возражают, что если в матрице нет элемента $a _{i,j}$ , то нет и его алгебраического дополнения, так что эта запись смысла не имеет.
Странно. Я преподавал в ВУЗе больше 40 лет, и за это время никто мне таких возражений не предъявлял и не жаловался, что это сбивает его с толку. Должно быть, Вы сами сбились с толку и из-за этого объясняете что-то не так, вот Вам и возражают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнительный минор и «Три мушкетера».
Сообщение28.12.2020, 14:11 


07/05/13
102
Цитата:
Вас же не смущает, что дополнение множества с ним не пересекается?

Вопрос риторический, а сравнение хромает. В матрице $a_{i,j}$ может принимать любое значение без изменения алгебраического дополнения. Во множестве это не так.
Вообще: как заменить элемент во множестве?

$\{a,b\} - \{b\} \cup \{c\} = \{a,c\}$

$\{a,b\} - \{b\} \cup \{a\} = \{a\}$

Отображение и множество не одно и тоже.

-- 28.12.2020, 15:19 --

Цитата:
Элемент матрицы - это не только ценный мех

$ A :  I \times J \rightarrow   K $ - это матрица.
$ A(i,j) = a_{i,j}$ - элемент матрицы.

-- 28.12.2020, 15:27 --

Цитата:
В любом случае, польза может быть только от придумывания нового содержания. От замены слов пользы быть не может.

Гротендик бы с Вами не согласился. И Лесков позволяет усомниться.

А я соглашусь. Можно попробовать назвать все эти штуки их историческими именами и заметить, что имена выбраны не совсем удачно. В самом деле: не переименовывать же морского конька.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнительный минор и «Три мушкетера».
Сообщение28.12.2020, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4936
Москва
Alexey Rodionov, гораздо лучше, чтобы в цитате было указано, из какого она сообщения. Для получения такого эффекта выделите цитируемый фрагмент и нажмите кнопку "вставка" в цитируемом сообщении.
Alexey Rodionov в сообщении #1498121 писал(а):
Вообще: как заменить элемент во множестве?
А как заменить элемент в матрице?
Alexey Rodionov в сообщении #1498121 писал(а):
Отображение и множество не одно и тоже
Ну да, отображение - это множество специального вида. Но причем здесь это?
Alexey Rodionov в сообщении #1498121 писал(а):
$ A(i,j) = a_{i,j}$ - элемент матрицы
Когда говорят о "дополнительном миноре" элементом называется именно конкретная позиция. В матрице $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}$ значения элементов верхней строки совпадают, а дополнения у них разные.
Некоторая путаница, но ничему не мешающая. Из той же серии, когда мы сначала определяем группу как пару (носитель, операция), а потом пишем "$G$ - группа, $x \in G$".
Alexey Rodionov в сообщении #1498121 писал(а):
Гротендик бы с Вами не согласился. И Лесков позволяет усомниться
Можно конкретные цитаты?
Alexey Rodionov в сообщении #1498121 писал(а):
Можно попробовать назвать все эти штуки их историческими именами и заметить, что имена выбраны не совсем удачно
Это всё стоит оставить для замечательного и всеми любимого предмета "История математики". В курсе линала рассуждения об истории лишние.

(Оффтоп)

Если уж что переделывать стандартные термины и обозначения, то начать надо с символов Ландау. $O(n) = O(n^2)$, но $O(n^2) \neq O(n)$, ужас же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дополнительный минор и «Три мушкетера».
Сообщение28.12.2020, 16:32 


07/05/13
102
mihaild в сообщении #1498130 писал(а):
Можно конкретные цитаты?


Лескова прямо здесь и смотрите (27.12.2020, 22:02), а Гротендика нельзя. Может быть, будет достаточно глянуть на то, как он называл свои произведения. На пример, crystalline cohomology или motives.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group