Теорема Тихонова

[Padawan]

В книге Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа, 1982 приведена следующая теорема



Теорема, очевидно, неверна. Действительно, в качестве $H$ возьмём, например, круг с выколотым центром. Вопрос: где ошибка в доказательстве?

P.S. Вообще, книжка, хорошая. Но от глупости никто не застрахован. Видимо, авторы, хотели сформулировать теорему Тихонова (в ней $H=X$) в чуть "более общем" виде. И доказательство, корректное при $H=X$ (это известное доказательство), некритически перенесли на этот "более общий" случай.

[Someone]

Padawan в сообщении #1497916 писал(а):

Вопрос: где ошибка в доказательстве?

По-моему, Вы сами догадались: ни откуда не следует, что $\{x_{\alpha}\}\in H$.

[Padawan]

По-моему, там ещё грубее ошибка: ниоткуда не следует, что $\{x_\alpha\}\in \bigcap\limits_\xi \overline{A_\xi}$. В качестве $H$ возьмём кольцо, а в качестве $A_\xi$ -- систему концентрических колец. $(x_1,x_2)$ пусть будет центр кольца.