Определение многочлена

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1497860 писал(а):

Вы уверены?

Я уверен, что Вы неправильно процитировали.

EminentVictorians в сообщении #1497860 писал(а):

$n$

И какая будет степень у произведения полиномов степени $n$?

[EminentVictorians]

Я не заметил, что про экспоненту это вопрос был. Ответ - нет, не представима. Только при чем здесь экспонента и как это противоречит тому, что я выше написал, мне не понятно.

Geen в сообщении #1497854 писал(а):

(а это требует отдельной проверки согласно Вашему определению полиномиальной функции)?

Что требует дополнительной проверки? Что экспонента не представима многочленом? Так это стандартное упражнение на знание производных экспоненты и многочлена. Каким образом это связано с "моим" или "не моим" определением многочлена?

-- 26.12.2020, 20:08 --

Geen в сообщении #1497863 писал(а):

И какая будет степень у произведения полиномов степени $n$?

$2n$, а что?

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1497865 писал(а):

Каким образом это связано с "моим" или "не моим" определением многочлена?

EminentVictorians в сообщении #1497818 писал(а):

А что если принять такое определение многочлена.
1. Полиномиальной функцией $f$ будем называть любую функцию....

Т.е. сначала Вы должны дать определение функции (откуда куда, кстати?). Потом каким-то (явным) способом выделить подкласс полиномов. Затем Вы полиномами объявляете этот подкласс......

EminentVictorians в сообщении #1497865 писал(а):

$2n$, а что?

А то, что Вы только что заявили, что ограничение $n$.

[EminentVictorians]

Geen в сообщении #1497868 писал(а):

Т.е. сначала Вы должны дать определение функции

EminentVictorians в сообщении #1497823 писал(а):

Я использую обычное теоретико-множественное определение функции, как функционального отношения (ну или упорядоченной пары (домен, функциональное отношение)).

Geen в сообщении #1497868 писал(а):

Потом каким-то (явным) способом выделить подкласс полиномов.

Полином (с любой точки зрения, в том числе и моей) - это не функция. Поэтому класс полиномов никак не может быть подклассом полиномиальных функций. А определяю я полиномы так:

EminentVictorians в сообщении #1497818 писал(а):

2. Многочлен над полем $K$ - это упорядоченная пара $(F, M)$, где $F$ - полиномиальная функция, а $M$ - упорядоченный набор $(a_0, a_1, ... , a_n)$ элементов поля $K$ (в котором коэффициент при старшей степени, если она не $x^0$, не равен нулю), такой, что $F = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n$?

Geen в сообщении #1497868 писал(а):

А то, что Вы только что заявили, что ограничение $n$.

Я заявлял лишь то, что полином $(F, M)$ при моем определении - конечный объект длины $n$. Это рассуждение "в общем виде". $n$ не является каким-то конкретным заранее заданным натуральным числом. Это как с натуральными числами. Натуральное число - суть конечное множество. Но это не отменяет того факта, что существуют сколь угодно большие натуральные числа.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1497834 писал(а):

с наиболее распространенной точки зрения, любое математическое понятие - это множество, построенное в ZFC.

Нет, это не только не "наиболее распространённая точка зрения", а просто ложное утверждение. На этом уже обожглись более 100 лет назад, когда ZFC ещё и в помине не было. Следствием этого было появление формализованных теорий множеств (и других теорий), а также больших новых направлений в математике (например, целого ряда конструктивистских направлений с разным пониманием конструктивности).

EminentVictorians в сообщении #1497826 писал(а):

А я про базис не писал, а писал лишь про произвольные линейные комбинации векторов пространства.

Речь всё время шла о пространстве многочленов и стандартном базисе $1,x,x^2,\ldots$. Если Вы вдруг заговорили о произвольных линейных пространствах, следовало об этом предупредить.

Но в произвольном линейном пространстве линейная комбинация не является формальной суммой, потому что и умножение вектора на число (элемент заданного поля), и сумма векторов в нём уже определены. Если же Вы определяете многочлены и операции над ними, то Вы можете определить многочлен как формальную сумму, но потом Вы должны определить, как следует понимать сумму и произведение многочленов. После этого сумма перестанет быть формальной и приобретёт смысл.

Например, мы можем определить кватернионы как формальные суммы вида $a+\vec b$, где $a$ — действительное число, а $\vec b$ — вектор трёхмерного пространства, а потом определить сумму $(a+\vec b)+(c+\vec d)=(a+c)+(\vec b+\vec d)$ как покомпонентную сумму и произведение $(a+\vec b)(c+\vec d)=(ac-\vec b\vec d)+(a\vec d+c\vec b+\vec b\times\vec d)$ через скалярное и векторное произведения.

Определение числового ряда как суммы (бесконечной) последовательности чисел не имеет смысла, потому что в арифметике такая сумма не определена. Поэтому мы его определяем как формальную сумму, то есть, некоторую строку символов (однако выглядеть эта запись может совсем не как строка), а потом определяем, как это нужно понимать.

[EminentVictorians]

Someone в сообщении #1497873 писал(а):

Следствием этого было появление формализованных теорий множеств (и других теорий)

Я думал, что ZFC и есть формализованная теория, аксиомы которой записаны на логико-математическом языке первого порядка (в алфавите которого, помимо прочего, есть единственный предикатный символом $\in$ и отсутствуют функциональные символы). Но я это все плохо понимаю, поэтому наверное ошибся.

Someone в сообщении #1497873 писал(а):

Речь всё время шла о пространстве многочленов и стандартном базисе $1,x,x^2,\ldots$. Если Вы вдруг заговорили о произвольных линейных пространствах, следовало об этом предупредить.

Не совсем. Началось все вот с этого:

EminentVictorians в сообщении #1497802 писал(а):

Тут просто дело вот еще в чем. Винберг в теме про векторные пространства (которая до многочленов) определяет линейные комбинации просто как формальные суммы. Раз там можно, почему здесь нельзя?

Someone в сообщении #1497873 писал(а):

Но в произвольном линейном пространстве линейная комбинация не является формальной суммой, потому что и умножение вектора на число (элемент заданного поля), и сумма векторов в нём уже определены.

Я об этом писал в первой части поста post1497818.html#p1497818. Наверное, я плохо понимаю, что такое формальная сумма. Верно ли я понимаю, что отсутствие смысла какой-то записи с значками "+" является необходимым условием того, чтобы эта запись была формальной суммой?

Someone в сообщении #1497873 писал(а):

Определение числового ряда как суммы (бесконечной) последовательности чисел не имеет смысла, потому что в арифметике такая сумма не определена. Поэтому мы его определяем как формальную сумму, то есть, некоторую строку символов (однако выглядеть эта запись может совсем не как строка), а потом определяем, как это нужно понимать.

А я бы определил числовой ряд как упорядоченную пару $(F, +)$, где $F$ - последовательность элементов, которые мы складываем, а "+" - операция поля. Это как-то более прозрачно, чем "формальная сумма".

-- 26.12.2020, 22:00 --

У меня получился еще более прозрачный способ определить многочлены. Напишу все четко и по порядку, чтобы не путать никого.

1. Формальная сумма элементов поля $K$ - это упорядоченная пара $(A, +)$, где $A$ - упорядоченная $n$-ка элементов поля, а $+$ - операция поля $K$.
2. Почтимногочлен $P$ над полем $K$ - это любая формальная сумма вида $a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n, a_i \in K$. (лучше термина не придумал)

Будем говорить, что почтимногочлен $P_1$ эквивалентен почтимногочлену $P_2$ если $P_1$ можно превратить в $P_2$ путем лишь добавления или удаления конечного числа $k \geqslant 0$ членов с нулевыми коэффициентами (по порядку следования членов). Понятно, что это отношение будет отношением эквивалентности.

Это отношение эквивалентности разбивает множество почтимногочленов над полем $K$ на классы эквивалентности. Вот эти классы эквивалентности и есть многочлены. Вводим сумму/произведение на число/произведение многочленов через действия с почтимногочленами и доказываем, что эти действия не зависят от выбора конкретных представителей. Вроде все корректно получается.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1497874 писал(а):

Я думал, что ZFC и есть формализованная теория, аксиомы которой записаны на логико-математическом языке первого порядка

Да, ZFC и есть "формализованная теория первого порядка". Есть и другие теории множеств, в том числе и формализованные в логике первого порядка. NBG, например. Только в то время, когда некоторые известные математики, как и Вы, думали, что свойства и множества — это одно и то же, никаких формализованных теорий множеств не существовало. Существовала только теория множеств, которую разрабатывал Г. Кантор, и которая сейчас называется "наивной теорией множеств". И вот Фреге явно сформулировал этот знаменитый принцип, что для каждого свойства существует множество всех элементов, обладающих этим свойством (а обратное, то есть, что каждое множество определяет свойство, очевидно). И полезли противоречия, начиная с парадокса Рассела…

Но формализованные (формальные) теории имеют, мягко выражаясь, весьма отдалённое отношение к обсуждаемому вопросу о формальных суммах.

EminentVictorians в сообщении #1497874 писал(а):

Тут просто дело вот еще в чем. Винберг в теме про векторные пространства (которая до многочленов) определяет линейные комбинации просто как формальные суммы.

Я не нашёл у Винберга слов "формальная сумма" в определении многочленов. Насколько я понял, у него в этом месте нет никаких формальных сумм. Он определяет многочлены как финитные последовательности, а для них сумма и произведение на элемент поля определены. Поэтому никакие формальные суммы ему не нужны.

EminentVictorians в сообщении #1497874 писал(а):

Наверное, я плохо понимаю, что такое формальная сумма.

Наверное. Формальная сумма — это строка, которая выглядит как сумма, но пока суммой не является, поскольку её смысл не определён. Когда смысл будет определён, тогда она перестанет быть формальной суммой.
По-моему, Вы пытаетесь читать сообщения собеседников "между строк". Не надо это делать. Для понимания математики это вредно. Читать надо только то, что написано.

EminentVictorians в сообщении #1497874 писал(а):

Формальная сумма элементов поля $K$ - это упорядоченная пара $(A, +)$, где $A$ - упорядоченная $n$-ка элементов поля, а $+$ - операция поля $K$.

Извините за грубость, но это бред. Сумма — никакая не пара. Сумма — это выражение типа $a+b+c+d$, или $\sum\limits_{k=1}^na_k$ и т. п.. Даже если она формальная.

EminentVictorians в сообщении #1497874 писал(а):

Почтимногочлен

Вы хотите совсем задурить головы людям, которые это будут читать?

[EminentVictorians]

Someone в сообщении #1497894 писал(а):

Но формализованные (формальные) теории имеют, мягко выражаясь, весьма отдалённое отношение к обсуждаемому вопросу о формальных суммах.

Меня интересует лишь небольшой момент о формализованных теориях, связанный с формальными суммами. А именно, какая сейчас общепринятая точка зрения на то, является ли некий объект математическим объектом, и является ли формальная сумма с этой точки зрения математическим объектом.

Someone в сообщении #1497894 писал(а):

Сумма — никакая не пара. Сумма — это выражение типа $a+b+c+d$, или $\sum\limits_{k=1}^na_k$ и т. п.

Т.е. $2 + 3 + 4$ и $3 + 2 + 4$ - это разные суммы, верно?

Someone в сообщении #1497894 писал(а):

Вы хотите совсем задурить головы людям, которые это будут читать?

Нет, я и без "почтимногочленов" видимо задурил людям головы. Если серьезно, то дело же не в самих "почтимногочленах", а в том, что "многочлены" (если их просто рассматривать как записи вида $a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n, a_i \in K$; взял в "", т.к. это не эквивалентно стандартному определению многочленов) с "нулевыми хвостами" эквивалентны, и если взять фактор по этому свойству, то как раз и получится нормальное определение многочленов.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1497912 писал(а):

Меня интересует лишь небольшой момент о формализованных теориях, связанный с формальными суммами.

Нет в формализованных теориях никакого "момента", связанного с формальными суммами.

По-моему, я не один раз объяснил насчёт формальной суммы: это строка, которая выглядит, как запись некоторой суммы, но фактически суммой не является, потому что не определена. Это просто вновь введённое обозначение, которое будет разъяснено автором книги или статьи в ближайшем будущем. К формализованным теориям это не имеет никакого отношения. Просто автор текста говорит: вот я сейчас введу такое обозначение, а когда-нибудь потом разъясню, что оно будет означать.

EminentVictorians в сообщении #1497912 писал(а):

$2 + 3 + 4$ и $3 + 2 + 4$ - это разные суммы, верно?

Строки символов разные. А являются ли они именами одного и того же объекта — зависит от их интерпретации. При стандартной интерпретации это один и тот же объект.

[EminentVictorians]

Someone в сообщении #1497915 писал(а):

По-моему, я не один раз объяснил насчёт формальной суммы: это строка, которая выглядит, как запись некоторой суммы, но фактически суммой не является, потому что не определена.

Да, с этим вопросов больше нету, разобрался, спасибо.

Someone в сообщении #1497915 писал(а):

Строки символов разные. А являются ли они именами одного и того же объекта — зависит от их интерпретации. При стандартной интерпретации это один и тот же объект.

Интерпретация подразумевается стандартная. Я понял так, что Вы отождествляете сумму и значение суммы. Просто для меня это не очень удобно. Проблема чисто терминологическая получается.

Видимо, вопрос закрыт. Благодарю всех за помощь.