Прямая и Обратная задача теплопроводности

[Babeuf]

Уважаемые участники форума!

Мне так и не удалось решить задачу https://dxdy.ru/topic143244.html, поэтому решил вернуться и ещё раз обратиться за помощью.
Немного переформулировал условия. Бесконечно длинная пластина, толщиной и бесконечная «вглубь» (как на рисунке) греется тепловым потоком $Q(y,t)$. Требуется восстановить тепловой поток $Q(y,t)$, если распределение температуры на поверхности $T(x=0,y,t)$ задано дискретно в каждый момент времени $t_i$ промежуток между которыми равен $\Delta \tau$.

Математическая формулировка тогда такова:
Уравнение теплопроводности:

$${\alpha_x} \frac {\partial^2 {T(x,y,t)}} {\partial {x}^2}+ \alpha_y \frac {\partial^2 {T(x,y,t)}} {\partial {y}^2}=\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {t}}$$

$\alpha=\frac {K} {\rho C_p}$, где $K$ — коэффициент теплопроводности (в направлениях X и Y они различны), $\rho$ — плотность, и $C_p$ — теплоёмкость материала из которого сделана пластина.

Начальное условие:
$T(x=0,y,t=0)=T_0$, для простоты сначала считаем $T_0=0$

Граничные условия:
$\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {x}}|_{x=0}=-K_x{q(y,t)}$
$\frac {\partial {T(x,y,t)}} {\partial {x}}|_{x={\delta}}=0$

Собственно, хоть пластина и бесконечно длинная меня интересует только поток тепла от $[y_0,y_1]$.

Значит, какую идею я попытался реализовать. Комбинируя преобразование Фурье (ПФ) в пространственной области и преобразование Лапласа (ПЛ) во временной получить аналитическое решение.
1. Применив ПФ и ПЛ получим простой дифур:

$\frac {\partial^2 {{T^L}_y}} {\partial {x}^2} - {{T^L}_y}(\frac {p \rho {C_p} + {w^2}K_y} {K_x})=0$, обозначим $\xi=\sqrt{\frac {p \rho {C_p} + {w^2}K_y} {K_x}}$

2. Его решение ищется в таком виде:

${{T^L}_y}=A \exp(\xi x) + B \exp(-\xi x)$

3. Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$ используем граничные условия, тоже преобразованные "по Лапласа и Фурье".

${{T^L}_y}=\frac { {{Q^L}_y} \th(\xi \delta) } {K_x \xi}$

4. Далее используем обратное преобразование Лапласа:

$T_y=\int_0^t Q_{y}(t-\tau) {Laplace^{-1}}( \frac {\th(\xi \delta)} {\xi \delta} ) d\tau$

Раскладывая гиперболический тангенс в ряд:

$\frac {\th(\xi \delta)} {\xi \delta}=\frac {2} {K_x} \sum_{m=1}^{\infty} \frac {1} {{\frac {{\pi}^2} {4}} (2m-1)^2 + (\xi \delta)^2}$

Тогда, обратное ПЛ в подынтегральном выражении будет следующей:
${Laplace^{-1}}( \frac {\th(\xi \delta)} {\xi \delta} )=\frac {2 \alpha_x} {K_x \delta} \sum_{m=1}^{\infty} \exp( - (\frac {{\pi}^2 \alpha_x (2m-1)^2} {4 {\delta}^2}+\frac {w^2 K_y} {K_x} \alpha_x ) \tau ) $

5. Итак, температура преобразованная по Фурье выражается так:

$T_y=\frac {2 \alpha_x} {K_x \delta} \int_0^t Q_{y}(t-\tau) \sum_{m=1}^{\infty} \exp( - (\frac {{\pi}^2 \alpha_x (2m-1)^2} {4 {\delta}^2}+\frac {w^2 K_y} {K_x} \alpha_x ) \tau) d\tau$

6. Далее, коль скоро у нас дискретные данные, то для простоты предположим, что за время $\Delta \tau$ тепловой поток в пространстве постоянен: $Q_y((j-l)\Delta \tau)$ — это тепловой поток от $t_{j-l-1}$ до $t_{j-l}$, где $t_{j-l}=(j-l) \Delta \tau$. Тогда интеграл берётся, обратное преобразование Лапласа закончено:

$$T_y=\frac {2 \alpha_x} {K_x \delta} { \sum_{l=0}^{j-1} Q_y(t_{j-l})} \sum_{m=1}^{\infty} \frac { \exp( - (\frac {{\pi}^2 \alpha_x (2m-1)^2} {4 {\delta}^2}+\frac {w^2 K_y} {K_x} \alpha_x ) l \Delta \tau) (1-\exp( - (\frac {{\pi}^2 \alpha_x (2m-1)^2} {4 {\delta}^2}+\frac {w^2 K_y} {K_x} \alpha_x ) \Delta \tau))} { \frac {{\pi}^2 \alpha_x (2m-1)^2} {4 {\delta}^2}+\frac {w^2 K_y} {K_x} \alpha_x } $$

-- 25.12.2020, 02:24 --

7. Упрощаем запись
$F_l=\sum_{m=1}^{\infty} \frac { \exp( - l \beta_m) (1-\exp(-\beta_m))} {\beta_m}$, где
$\beta_m=\frac {\alpha_x \pi^2} {4 \delta^2} (2m-1)^2 + \frac {\alpha_x w^2 K_y} {K_x}$
8. Тогда температуру записываем как:
$T_y(t_j)=\frac {2 \alpha_x \Delta \tau} {\delta K_x} \sum_{l=0}^{j-1} Q(t_{j-l}) F_l$

9. Выписав коэффициент $F_0$ отдельно, и, наконец, вспомнив, что начальная температура $T_0 >0$:

$$Q_y(t_j)=\frac {K_x \delta} {2 \alpha_x \Delta \tau} \frac {(T_y(t_j)-T_y(t_0))} {F_0} - \sum_{l=1}^{j-1} \frac {Q_y(t_{j-l})} {F_l} {F_0}$$

Собственно, вопрос в том, как делать обратное преобразование Фурье в такой ситуации, так как с одной стороны сумма внизу, а с другой интересно $Q$ только от $y_0$ до $y_1$?

[Babeuf]

Наверное стоит дополнить задачу числами.
Итак,
$K_x=140$ Вт/(м x К)
$K_y=1000$ Вт/(м x К)
$C_p=700$ Дж/(кг x К)
$\rho=2100$ кг/м^-3
$\Delta \tau=0.002$ сек
$\delta=0.01$ м
{y_1}-{y_0}=0.1$ м
q(y)=10^6 (0.1+ erfc(\frac {0.004} {0.024} - \frac {y-0.04} {0.004}) \exp( (\frac {0.004} {0.024})^2 - \frac {y-0.04} {0.012})) $ Вт/м^2