И снова функан...

[Brukvalub]

Кроме открытости есть и другие эквивавалентные определения непрерывности, которые легче проверить.

[Pyphagor]

thurmit писал(а):

1) Является ли непрерывным отображение $f(x)=x(1)$, если оно рассматривается, как действующее из $C[0,1]$ в $R^1$ ?

А $f$ у Вас линейный функционал? Если да, то вот это о чем-нибудь Вам говорит:
$||f(x)||_{R} \le ||f||*||x||_{C}$?