условная вероятность для формулы Бейеса

[Архипов]

В учебнике на сайте Теорвер есть задачка:
"В первом ящике 26 белых шаров, во втором - 15 белых и 11 черных шаров, в третьем - 26 черных. Вытащили из трех ящиков наугад один шар, он оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар - из первого ящика7"
Ответ к ней $(26/52)*(26/26)+(15/52)*(15/26)=S$ откуда $P(1)=0,5/S=0,75$.
Но меняется ведь только вероятность выбора ящиков (третий исключается, а вероятности двух оставшихся ящиков одинаковы и равны 0,5. Тогда
$0,5*(26/26)+0,5*(15/26)=S$ $P(1)=0,5/S=0,63$
Кто рассудит?

Добавлено спустя 5 минут 1 секунду:

Взято отсюда
http://www.toehelp.ru/exampls/math/ter_ver/

[Trotil]

У меня тоже 0.63 получилось

Добавлено спустя 14 минут 6 секунд:

У них неверно хотя бы потому, что не выполняется $\sum\limits_{i}{P(H_i)=1$

[Henrylee]

Архипов писал(а):

Но меняется ведь только вероятность выбора ящиков (третий исключается, а вероятности двух оставшихся ящиков одинаковы и равны 0,5.

На самом деле, если включить третий ящик, и считать апрриорные вероятности по $1/3$, то ответ тоже $0,63$. А что такое $15/52$ в том решении я не понял, вероятно, опечатка.

Добавлено спустя 3 минуты 45 секунд:

Trotil писал(а):

У них неверно хотя бы потому, что не выполняется $\sum\limits_{i}{P(H_i)=1$

Я думаю, там это выполняется, порсто они почему-то считают третью априорную вероятность равной $11/52$, а условная ноль.

[Trotil]

Посмотри повнимательней, как они считали $H_1$ и $H_2$. $H_3$ по их логике должна получиться ноль.

[ET]

Чет я не понимаю - нафига так непонятно считать? Ф-ла Байеса тут вообще не нужна. Всего 26+15 белых шаров. Вытащили 1 из них какова вероятность, что он из тех 26ти?. Ну да, тоже 0,63 получилось когда я калькулятор взял, но зачем так считать то?

[PAV]

ET писал(а):

Чет я не понимаю - нафига так непонятно считать? Ф-ла Байеса тут вообще не нужна. Всего 26+15 белых шаров. Вытащили 1 из них какова вероятность, что он из тех 26ти?. Ну да, тоже 0,63 получилось когда я калькулятор взял, но зачем так считать то?

Нет, так рассуждать нельзя. Дело в том, что если механически объединить в одну кучу все белые шары, то они будут извлекаться не с равной вероятностью.

Здесь получается такой же ответ только потому, что количество шаров в каждом ящике одно и то же. Но если бы это было не так, то такое решение было бы неверно. Например, если бы во втором ящике было бы 15 белых шаров и 5 черных, то правильный ответ был бы $\frac{20}{35}$. От числа шаров в первом ящике, кстати, ответ не зависит (при условии, что в нем все шары белые).

[ET]

PAV писал(а):

Нет, так рассуждать нельзя. Дело в том, что если механически объединить в одну кучу все белые шары, то они будут извлекаться не с равной вероятностью.

С чего бы вдруг? условии ничего не говорится о том, как их вытаскивать будут.

[Архипов]

[quote="Henrylee"] На самом деле, если включить третий ящик, и считать апрриорные вероятности по $1/3$, то ответ тоже $0,63$. А что такое $15/52$ в том решении я не понял, вероятно, опечатка.

Полагаю, что решение такое потому, что приняты ложные гипотезы. Если бы все шары пометили номерами ящиков и свалили в одну кучу, а потом случайным образом внули белый шар, то вероятности гипотез были бы 26/52 и 15/52.
Но в условии четко сказано, что шары вынимают из отдельных ящиков. Тогда вероятности гипотез просто равны 1/2 и 1/2.

[Henrylee]

ET писал(а):

PAV писал(а):

Нет, так рассуждать нельзя. Дело в том, что если механически объединить в одну кучу все белые шары, то они будут извлекаться не с равной вероятностью.

С чего бы вдруг? условии ничего не говорится о том, как их вытаскивать будут.

Имеется в виду, что сначала выбирается ящик равновероятно, а потом из него достается шар. Если в ящиках разное количество шаров, то "больше повезет" тем шарам, которых меньше в одном из ящиков, вэтом смысле при сваливании в кучу, "везучесть" всех шаров искусственно уравнивается. Поэтому, сваливая шары в одну кучу, мы получаем (вообще говоря) другую задачу.

[PAV]

Решил заглянуть на сайт, с которого взята задача, и оказалось, что Архипов в первом посте привел условие задачи не дословно. Вот как оно выглядит на сайте.

Цитата:

Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Используя формулу Байеса вычислить вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика.

(выделение мое)

Архипов же эту ключевую фразу, которая вполне однозначно описывает ход эксперимента, изложил на свой лад:

Архипов писал(а):

Вытащили из трех ящиков наугад один шар, он оказался белым.

и это действительно непонятно - то ли выбрали ящик, а потом внули шар, то ли свалили все шары в кучу.

Так что я теперь серьезно сомневаюсь в том, что все задачи, которые Архипов приводил в своей теме как имеющие некорректные формулировки, не стали таковыми в результате "вольной интерпретации".

Добавлено спустя 20 минут 6 секунд:

А по сути того, что на сайте приведен неверный ответ - так там и решение неверное. А сайт специализируется на оказании (довольно сомнительных с моральной точки зрения) услуг по решению контрольных, зачетных и прочих задач. Вот и делайте выводы о том, какие в таких конторах сидят "специалисты" и что они нарешают. Тоже мне, нашли где учиться задачи решать.

[ET]

Вот именно. Что там "иммеется ввиду" я без понятия. Я вижу что написано, а по тому что написано мое решение нельзя признать невреным:-)

[Архипов]

PAV писал(а):

Так что я теперь серьезно сомневаюсь в том, что все задачи, которые Архипов приводил в своей теме как имеющие некорректные формулировки, не стали таковыми в результате "вольной интерпретации".

PAV, помните спор про монету, упавшую 99 раз подряд "орлом" вверх? Вы допускали случайность такого события. Про меня же Вы сделали вывод о закономерности поведения в прошлом и наперед по единственному событию.
Лично я обсуждаю на форуме тексты задач, но не их авторов (коих я и не знаю).

Архипов писал(а):

Полагаю, что решение такое потому, что приняты ложные гипотезы. Если бы все шары пометили номерами ящиков и свалили в одну кучу, а потом случайным образом внули белый шар, то вероятности гипотез были бы 26/52 и 15/52.
Но в условии четко сказано, что шары вынимают из отдельных ящиков. Тогда вероятности гипотез просто равны 1/2 и 1/2.

Всегда настаивал на том, чтобы в задачах по комбинаторике и теории вероятности четко указывалась процедура выборки и необходимые признаки элементов множеств.
Пример: "Из колоды в 37 карт случайным образом взяли 3 карты. Какова вероятность того, что взято 3 Дамы?" Не указано количество Дам в колоде. Кто-то скажет: "Да все знают - там их 4 !" А как он догадался?

[TOTAL]

Архипов писал(а):

PAV, помните спор про монету, упавшую 99 раз подряд "орлом" вверх? Вы допускали случайность такого события. Про меня же Вы сделали вывод о закономерности поведения в прошлом и наперед по единственному событию.

Расшифруйте фразу: "Вы допускали случайность такого события."