ТВ: является ли случайной величиной?

[artempalkin]

Это задача из Прохорова Ушакова 2.43 (д)

Обязана ли $\xi$ быть случайной величиной, если $\xi^{\xi}$ является случайной величиной?

В задачнике ответ "да", но я так понимаю, что ответ "нет". $f(x)=x^x$ -- не монотонная функция, и если, к примеру, найти два значения $x$ такие что $x_1^{x_1}=x_2^{x_2}=a$, далее придумать такое ВП $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}$ и такую сигма-алгебру $A=\{\Omega,\{\omega_1,\omega_2\},\{\omega_3\},\{\varnothing\}\}$.

Далее, пусть $\xi(\omega_1)=x_1$, $\xi(\omega_2)=x_2$ и $\xi(\omega_3)=1$. Тогда $\xi^{\xi}$ измерима относительно сигма-алгебры, а вот $\xi$ нет, потому что, например, не найдется события, которое соответствует подмножеству значений $\xi$ $x_1$.

Подскажите, прав я или Прохоровы с Ушаковым?

[Евгений Машеров]

Вы опровергли другое утверждение. Что если $\xi$ случайная величина, то и $\xi^{\xi}$ тоже случайная.

[mihaild]

artempalkin, вроде бы правы вы.

Евгений Машеров в сообщении #1497471 писал(а):

Вы опровергли другое утверждение. Что если $\xi$ случайная величина, то и $\xi^{\xi}$ тоже случайная.

Как раз нужное - предъявлен пример, где $\xi^\xi$ измерима, а $\xi$ нет. Наоборот не бывает - непрерывная функция от измеримой измерима.

[Евгений Машеров]

А отчего она не измерима? Она измерима, только относительно иной сигма-алгебры.

[artempalkin]

Евгений Машеров в сообщении #1497473 писал(а):

Она измерима, только относительно иной сигма-алгебры.

Но в конкретной задаче должна быть задана конкретная сигма-алгебра. Я опустил часть условия, которое казалось мне подразумеваемым автоматически, но давайте я его запишу:

"Пусть $(\Omega, A, P)$ - вероятностное пространство, $\xi(\omega)$ -- определенная на $\Omega$ функция. ..." и далее по тексту.

Ваш довод по поводу того, что $\xi^{\xi}$ измерима относительно иной сигма-алгебры немножко ставит меня в тупик :)

-- 22.12.2020, 13:22 --

mihaild в сообщении #1497472 писал(а):

artempalkin, вроде бы правы вы.

Если даже вы сомневаетесь, а еще Прохоров и Ушаков, то я прямо не знаю, что и думать :)

[Евгений Машеров]

А давайте кроме $\xi^{\xi}$ рассмотрим что попроще. Является ли величина x случайной, если случайна $x^2$ ?

[artempalkin]

Евгений Машеров в сообщении #1497476 писал(а):

А давайте кроме $\xi^{\xi}$ рассмотрим что попроще. Является ли величина x случайной, если случайна $x^2$ ?

Это пункт а) из того же задания в Прохорове Ушакове и ответ "нет", и я с ним согласен.

Берем то же ВП

artempalkin в сообщении #1497467 писал(а):

$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}$ и такую сигма-алгебру $A=\{\Omega,\{\omega_1,\omega_2\},\{\omega_3\},\{\varnothing\}\}$.

Теперь $\xi(\omega_1)=1$, $\xi(\omega_2)=-1$ и $\xi(\omega_3)=0$. Ну и та же ситуация.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1497474 писал(а):

я прямо не знаю, что и думать

В задачниках бывают опечатки.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1497482 писал(а):

В задачниках бывают опечатки.

Это да, но вы вроде не до конца уверены, и Евгений Машеров сомневается. Мне главное прояснить, что я правильно понимаю измеримость и прочее, потому что я не так давно стал изучать ТВ с фундаментальных основ.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1497483 писал(а):

Это да, но вы вроде не до конца уверены

Я всегда могу не заметить что-то простое. Но кроме таких общих соображений поводов сомневаться не вижу.