Задача на плотность вероятностей

[Etherius]

Абсолютное значение случайной величины V -скорости молекул мыссы газа при абсолютной температуре Т - подчиняется закону Максвелла -Больцмана:
$f(V)=\lambda \cdot V^2 \cdot e^{- \beta \cdot V^2}$ $0 \leqslant V < oo$, где $ \beta =\frac{m}{2kT}$, лямбда - нормирующий множитель. Найти плотность распределения вероятностей f(x) кинетической энергии $E=\frac{1}{2}\cdot mV^2 $. Показать, что $\lambda = \frac{4}{pi} \cdot ( \beta)^{\frac{3}{2}}$

Пока не могу понять почему f(x). Да и как связать энергию с данной мне плотность распределния не очень понимаю.

[RIP]

Насколько я понял, задание надо читать где-то так.
С.в. $V$ имеет плотность

$$f(x)=\begin{cases}\lambda x^2e^{-\beta x^2},&x>0,\\0,&x<0,\end{cases}$$

где $\beta=\frac m{2kT}$ (впрочем, неважно, чему равно $\beta$; достаточно просто знать, что $\beta>0$). Надо доказать, что $\lambda=\frac4{\sqrt\pi}\,\beta^{3/2}$, и найти плотность с.в. $E=\frac12mV^2$.

[Etherius]

Нашел плотность распределения случайной величины E, получилось равна:
$ \lambda \cdot E \cdot m \cdot e^{-\beta\cdot E\cdot m}$
Верно?

[RIP]

Etherius писал(а):

Нашел плотность распределения случайной величины E, получилось равна:
$ \lambda \cdot E \cdot m \cdot e^{-\beta\cdot E\cdot m}$
Верно?

У меня получается другая плотность. Как Вы решали?

[Etherius]

RIP
Напутал немного
$ 4\lambda \cdot \frac{E}{m^2} \cdot e^{-2\beta\cdot \frac{E}{m}}$

Добавлено спустя 7 минут 25 секунд:

Понимаю как находить лямбду, интеграл от 0 до бесконечности от плотности должен быть равен 1. Но откуда там пи??? Интеграл ведь как мне кажется реашется так, сначала я вношу одну V под диф. затем разбираю его по частям. но откуда пи?

[RIP]

Etherius писал(а):

RIP
Напутал немного
$ 4\lambda \cdot \frac{E}{m^2} \cdot e^{-2\beta\cdot \frac{E}{m}}$

Снова не сходится. Но могу и я ошибаться. Приведите Ваши вычисления — проверим.

Etherius писал(а):

Понимаю как находить лямбду, интеграл от 0 до бесконечности от плотности должен быть равен 1. Но откуда там пи???

Правильно. Интеграл считается сведЕнием к гамма-функции (точнее, к интегралу Эйлера второго рода)

$$\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx.$$

$\pi$ возникает из-за того, что $\Gamma(3/2)=\sqrt\pi/2$.

[Etherius]

RIP писал(а):

Etherius писал(а):

RIP
Напутал немного
$ 4\lambda \cdot \frac{E}{m^2} \cdot e^{-2\beta\cdot \frac{E}{m}}$

Снова не сходится. Но могу и я ошибаться. Приведите Ваши вычисления — проверим.

Etherius писал(а):

Понимаю как находить лямбду, интеграл от 0 до бесконечности от плотности должен быть равен 1. Но откуда там пи???

Правильно. Интеграл считается сведЕнием к гамма-функции

$$\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx.$$

$\pi$ возникает из-за того, что $\Gamma(3/2)=\sqrt\pi/2$.

$V^2=\frac{2E}{m}=\psi(E), тогда $\psi'(E)=\frac{2}{m}$
Тогда $f(E)=\lambda \cdot \frac{2E}{m} \cdot e^{\frac{-2\beta\cdot E}{m}}\cdot \frac{2}{m}$

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:

А насчет сведения к Гамма функции, нас такому не обучали 100% 8( Потому я и не знаю.

[RIP]

Etherius писал(а):

$V^2=\frac{2E}{m}=\psi(E), тогда $\psi'(E)=\frac{2}{m}$
Тогда $f(E)=\lambda \cdot \frac{2E}{m} \cdot e^{\frac{-2\beta\cdot E}{m}}\cdot \frac{2}{m}$

А почему Вы выражаете $V^2$ через $E$? Потому что формулы красивее получаются? Надо $V$ выражать через $E$.

Etherius писал(а):

А насчет сведения к Гамма функции, нас такому не обучали 100% 8( Потому я и не знаю.

Да вроде это и так понятно. Хотя кому как.

[Etherius]

RIP писал(а):

Etherius писал(а):

$V^2=\frac{2E}{m}=\psi(E), тогда $\psi'(E)=\frac{2}{m}$
Тогда $f(E)=\lambda \cdot \frac{2E}{m} \cdot e^{\frac{-2\beta\cdot E}{m}}\cdot \frac{2}{m}$

А почему Вы выражаете $V^2$ через $E$? Потому что формулы красивее получаются? Надо $V$ выражать через $E$.

Etherius писал(а):

А насчет сведения к Гамма функции, нас такому не обучали 100% 8( Потому я и не знаю.

Да вроде это и так понятно. Хотя кому как.

Нет я в том плане, что я первый раз слышу про гамма функцию 8) Но теперь когда у меня есть формула, предоставленная вами, я сижу уже решаю 8) Спасибо!)

Добавлено спустя 3 минуты 52 секунды:

$f(E)=\lambda \cdot \frac{2E}{m} \cdot e^{\frac{-2\beta\cdot E}{m}}\cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt m}$
Так верно?)

[RIP]

Etherius писал(а):

$f(E)=\lambda \cdot \frac{2E}{m} \cdot e^{\frac{-2\beta\cdot E}{m}}\cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt m}$
Так верно?)

Нет. Производную неправильно посчитали: там ведь $E$ тоже под корнем.

[Etherius]

RIP писал(а):

Etherius писал(а):

$f(E)=\lambda \cdot \frac{2E}{m} \cdot e^{\frac{-2\beta\cdot E}{m}}\cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt m}$
Так верно?)

Нет. Производную неправильно посчитали: там ведь $E$ тоже под корнем.

Ааа, точно. А я только поменял коэф 8) Все теперь не буду торопиться все сделаю нормально 8) Интеграл вычислил седя к гамме функции, все сошлось. Спасибо!)

Добавлено спустя 9 минут 37 секунд:

$f(E)=\sqrt2 \cdot \lambda \cdot \frac{\sqrt E}{m^{\frac{3}{2}}} \cdot e^{\frac{-2\beta\cdot E}{m}}$

Добавлено спустя 40 секунд:

Финальное решение. Надеюсь правильно 8) Вроде ошибаться больше негде 8)

[RIP]

Etherius писал(а):

$f(E)=\sqrt2 \cdot \lambda \cdot \frac{\sqrt E}{m^{\frac{3}{2}}} \cdot e^{\frac{-2\beta\cdot E}{m}}$

Теперь вроде похоже на правду. Но если подходить формально, то ответ не до конца верный (это формула для плотности только при $E\geqslant0$).

[Etherius]

RIP писал(а):

Etherius писал(а):

$f(E)=\sqrt2 \cdot \lambda \cdot \frac{\sqrt E}{m^{\frac{3}{2}}} \cdot e^{\frac{-2\beta\cdot E}{m}}$

Теперь вроде похоже на правду. Но если подходить формально, то ответ не до конца верный (это формула для плотности только при $E\geqslant0$).

Ну а при Е<0 вероятность равна нулю, правильно я понимаю? Тогда Я должен записать ответ в виде системы да?

[RIP]

Etherius писал(а):

Ну а при Е<0 вероятность равна нулю, правильно я понимаю?

Да. Только не вероятность, а плотность.

Etherius писал(а):

Тогда Я должен записать ответ в виде системы да?

Если по-хорошему, то так и надо делать (и ещё лучше $E$ поменять на $x$). Однако, глядя на формулировку задания, можно просто к формуле приписать справа $0\leqslant E<\infty$ (обратите внимание на то, как я написал бесконечность). Я правильно понимаю, что это задача из курса физики, а не теории вероятностей?

[Etherius]

RIP писал(а):

Etherius писал(а):

Ну а при Е<0 вероятность равна нулю, правильно я понимаю?

Да. Только не вероятность, а плотность.

Etherius писал(а):

Тогда Я должен записать ответ в виде системы да?

Если по-хорошему, то так и надо делать (и ещё лучше $E$ поменять на $x$). Однако, глядя на формулировку задания, можно просто к формуле приписать справа $0\leqslant E<\infty$ (обратите внимание на то, как я написал бесконечность). Я правильно понимаю, что это задача из курса физики, а не теории вероятностей?

Тьфу плотность.
Нет, это тервер.
Огромнейшее спасибо вам за помощь!))