Вычисление интеграла с комплексной степенной функцией

[qftlearner]

Есть такой себе интеграл:
$\int_{1}^{\infty} dx \dfrac{(x-1)^{1+ i \alpha}}{x^3} \exp(i \alpha x)$,
где $\alpha$ действительное число. Интеграл вроде как должен сходиться к линейной комбинации гамма-функций, но нет возможности проверить в mathematica. Пытаюсь взять методами ТФКП. Рассмотрим $f(z) = \dfrac{(z-1)^{1+ i \alpha}}{z^3}$ и соответствующий интергал $\int_1^{\infty} f(z) \exp(i \alpha z) dz$ в комплексной плоскости. Очевидно, функция $(z-1)^{1 + i \alpha}$ многозначна. За исключеним точки $z = 1$ эта функция принимает бесконечное множество значений во всех остальных точках комплексной плоскости. Пользуясь определением степенной функции,
$(z-1)^{1 + i \alpha} = \exp [(1+i \alpha) \text{Ln} (z-1)] = \exp [(1+i \alpha) (\ln |z-1| + i (\varphi + 2 \pi k) )]$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $\varphi = \text{arg}(z-1)$. Выберем ветвь этой многозначной функции, которая в комплексной плоскости с разрезом по лучу $(-\infty, 1]$ регулярна и соответсвует $k=0$ и $\varphi \in (- \pi,\pi)$. Получим $(z-1)^{1 + i \alpha} = \exp [(1+i \alpha) (\ln |z-1| + i \varphi)] $. Рассмотрим область, граница которой положительно ориентированна и состоит из:
$\Gamma = C_1 \cup C_R \cup C_2 \cup C_3 \cup C_{\varepsilon}$, где $C_1 = [1+\varepsilon, R]$, $C_R$ --- дуга окружности в первом квадранте $z = R e^{i \varphi}$, $\varphi \in [0, \pi/2]$, где $\xi = i R$; $C_2$ --- отрезок, соединяющий точки $\xi = i R$ и $\eta = i \varepsilon$; $C_3$ --- отрезок соединяющий $\eta = i \varepsilon$ и $\rho = 1 + i \varepsilon$; $C_{\varepsilon}$ --- четверть окружности, завершающая контур.

(Выбор именно такого контура в частности продиктован физическим содержанием $x$ как координаты сугубо положительной).

Подынтегральная функция (с выбранной выше регулярной ветвью многозначной функции) регулярна в рассматриваемой области. Поэтому по теореме о вычетах сумма пяти интегралов по частям контура должна равнятся нулю:
$\int_{C_1} f(z) dz + \int_{C_R} f(z) dz + \int_{C_2} f(z) dz + \int_{C_3} f(z) dz + \int_{C_{\varepsilon}} f(z) dz = 0$.
Интеграл вдоль $C_R$ стремится к нулю в пределе $R \to \infty$ исходя из леммы Жордана. Аналогично показывается что в пределе $\varepsilon \to 0$ исчезает интграл в доль $C_{\varepsilon}$. Интеграл вдоль $C_1$ в пределе $\varepsilon \to 0$ и $R \to \infty$ превращается в интересуемый нас интеграл, который мы обозначим $I$.

Для интеграла вдоль $C_2$:
$\int_{C_2} f(z) dz = - \int_{C_2^{-1}} f(z) dz$, где
$C_2^{-1}: z = i t$, $0 \leq t \leq R$, $dz = i dt$
$\int_{C_2} f(z) dz = \int_{0}^R dt \dfrac{\exp [(1+i \alpha) (\ln |i t-1| + i \pi/2)]} {t^3} e^{- \alpha t}$ с последующим устремлением $R$ в $\infty$.
Прежде чем расстраиваться глядя на этот интеграл, я еще записал последний:
$C_3: z = t + i \varepsilon, 0 \leq t \leq 1$, $dz = dt$
$\int_{C_3} f(z) dz = \int_{0}^1 dt \dfrac{\exp [(1+i \alpha) (\ln |t + i \varepsilon-1|)]}{t^3} e^{i \alpha t} e^{-\varepsilon}$ или в пределе $\varepsilon \to 0$
$\int_{0}^1 dt \dfrac{\exp [(1+i \alpha) (\ln |t-1|)]}{t^3} e^{i \alpha t}$

ИТОГ: я получил кроме интересующего меня интеграла $I$ еще два, которые вроде как не выржаются через $I$ и не легче того, что был вначале. Что я делаю не так? Спасибо.

[alisa-lebovski]

А может, заменить $i\alpha$ на $-\beta$, а потом наоборот?

[qftlearner]

alisa-lebovski в сообщении #1497107 писал(а):

А может, заменить $i\alpha$ на $-\beta$, а потом наоборот?

Спасибо за ответ. Такая идея возникала, но при применении методов комплексного анализа все равно придется "вспомнить" что $\beta$ чисто мнимая (чтобы понимать что делать с функцией $(z-1)^{1-\beta}$, многозначна она или нет и т.д.), а без комплексного анализа я не вижу как это упрощает взятие интеграла.

Кстати, добрался до mathematica. Для интеграла:

Integrate[(x - 1)^(1 - \beta)/x^3 Exp[-b x], {x, 1, Infinity}]

mathematica выдает:

ConditionalExpression[-(1/2) E^-b Gamma[1 - b] (-2 b^b + E^b Gamma[1 + b, b]), 0 < Re[b] < 2]

что по меньшей мере подозрительно поскольку условие $0 < Re(b) < 2$ для чисто мнимного $b$ не выполняется.

[alisa-lebovski]

На границе не гарантируется - в каких-то точках может работать, а в каких-то нет.
Полагаю, если все-таки подставить мнимое, то получится ответ (в каком-то смысле).

Другой подход - использовать степенные ряды.

[Farest2]

Можно попробовать подход, изложенный в статье, см. Eq.(86).