2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрическая задача по дифференциальным уравнениям
Сообщение17.12.2020, 16:37 


17/12/20
2
Помогите пожалуйста разобраться с задачей :roll:

Собственно сама задача:
Составить дифференциальное уравнение кривых, обладающих тем свойством, что длина отрезка касательной, заключенного между осями координат равна расстоянию от точки касания до начала координат.

Изображение

Как я решал - пусть в некая точка $M(t_0,x_0)$ принадлежит искомому семейству кривых. Найдём координаты точек $K, L$. Зная, что формула касательной в точке $t_0, x_0$ есть уравнение $x-x_0 = x'(t_0)(t-t_0)$. Тогда, подставим $t=0$, найдём точку $K(0, x_0-x' t_0)$. Подставив $x=0$, найдём точку $L(t_0 - \frac{x_0}{x'}, 0)$.

Тогда получаем уравнение $|\vec{KL}| = |\vec{OM}|$:
$t^2 - 2\frac{tx}{x'} + \frac{x^2}{x'} + x'^2 t^2 - 2xx't + x^2 = t^2 + x^2$

$-2tx + x^2 + x'^3t^2 - 2xx'^2 t = 0$


Не знаю, как решить полученный диффур :roll:
Из того, что нам давали, для понижения степени у производной, делается замена $p = x'$. Но для этого нужно выразить из диффура или $x$, или $t$. Что не предоставляется возможным :cry:

Возможно есть более простой способ для выражения соотношения. Напишите пожалуйста, если есть идеи :idea:

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача по дифференциальным уравнениям
Сообщение17.12.2020, 17:13 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Так вас же не просили решать это уравнение, только составить его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача по дифференциальным уравнениям
Сообщение17.12.2020, 17:20 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
MoonSersss в сообщении #1496941 писал(а):
Тогда получаем уравнение

В третьем слагаемом - ашипка (знаменатель - в квадрате!).
Но станет токо хуже.
Впрочем, разве Вас просили решить ур-е? Просили - составить!...

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача по дифференциальным уравнениям
Сообщение17.12.2020, 17:21 


17/12/20
2
:facepalm: Спасибо, понял

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group