2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрическая задача по дифференциальным уравнениям
Сообщение17.12.2020, 16:37 


17/12/20
2
Помогите пожалуйста разобраться с задачей :roll:

Собственно сама задача:
Составить дифференциальное уравнение кривых, обладающих тем свойством, что длина отрезка касательной, заключенного между осями координат равна расстоянию от точки касания до начала координат.

Изображение

Как я решал - пусть в некая точка $M(t_0,x_0)$ принадлежит искомому семейству кривых. Найдём координаты точек $K, L$. Зная, что формула касательной в точке $t_0, x_0$ есть уравнение $x-x_0 = x'(t_0)(t-t_0)$. Тогда, подставим $t=0$, найдём точку $K(0, x_0-x' t_0)$. Подставив $x=0$, найдём точку $L(t_0 - \frac{x_0}{x'}, 0)$.

Тогда получаем уравнение $|\vec{KL}| = |\vec{OM}|$:
$t^2 - 2\frac{tx}{x'} + \frac{x^2}{x'} + x'^2 t^2 - 2xx't + x^2 = t^2 + x^2$

$-2tx + x^2 + x'^3t^2 - 2xx'^2 t = 0$


Не знаю, как решить полученный диффур :roll:
Из того, что нам давали, для понижения степени у производной, делается замена $p = x'$. Но для этого нужно выразить из диффура или $x$, или $t$. Что не предоставляется возможным :cry:

Возможно есть более простой способ для выражения соотношения. Напишите пожалуйста, если есть идеи :idea:

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача по дифференциальным уравнениям
Сообщение17.12.2020, 17:13 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Так вас же не просили решать это уравнение, только составить его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача по дифференциальным уравнениям
Сообщение17.12.2020, 17:20 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
MoonSersss в сообщении #1496941 писал(а):
Тогда получаем уравнение

В третьем слагаемом - ашипка (знаменатель - в квадрате!).
Но станет токо хуже.
Впрочем, разве Вас просили решить ур-е? Просили - составить!...

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задача по дифференциальным уравнениям
Сообщение17.12.2020, 17:21 


17/12/20
2
:facepalm: Спасибо, понял

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov, B@R5uk, Утундрий


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group