Сжимающее отображение

[marie-la]

При каких значениях $\lambda$ оператор
$Ax=\lambda\int\limits_{-1}^{1}K(t,s)x(s)ds$,
где
$K(t,s)=1+\frac{t^2}{16}+\sin\pi s$,
будет сжимающим в $L_2(-1,1)$?

Оценка понятна, при
$\lambda<(\iint\limits_{[-1,1]^2} K(t,s)dtds)^{-1/2}$
отображение сжимающее. Но при получении такой оценки неравенство Гёльдера приходится применять. И выходит, что для того, чтоб неравенство было почти равенством, функция должна быть почти пропорциональна одновременно всем функциям $h(s)= 1+\frac{t^2}{16}+\sin\pi s$. Поэтому как найти точно верхнюю грань $\lambda$, я не понимаю.
Помогите, пожалуйста.

[Brukvalub]

Дайте определение понятия "неравенство является почти равенством".

[marie-la]

Brukvalub
Ну, я имею в виду, что тут же норму нужно оценивать. То есть доказать, что сколь угодно близко отношение $\frac{\left\lVert Ax\right\rVert}{\left\lVert x\right\rVert}$ может быть к какому-либо числу.

[adfg]

по-моему, здесь оператор конечного ранга, действие которого должно описываться матрицей 2х2. Видимо, норму этой матрицы надо искать

[DeBill]

marie-la
Ваш интегральный оператор - конечномерный, и даже представимый в виде $A:x\mapsto c_1v_1 +c_2v_2$, где $c_1=(x,u_1), c_2=(x,u_2)$ для некоторых $u_j,v_j$. Тут нам чуть повезло - вектора $u_1,u_2$ - ортогональны. Разлагая вектор $x$ в лин.комбинацию векторов $u_1,u_2$ и вектора из ортогонального дополнения, получим оценку (1) на $c_1,c_2$ через норму вектора $x$ (равную 1, для простоты). Выразим норму $Ax$ через эти цешки, и будем ее минимаксимизировать - при условии (1). Получили стандартную задачу из матана (которую можно решать по Лагранжу. Ну, или тупой параметризацией, поскольку (1) задает почти что круг)....

[marie-la]

DeBill
Спасибо!