сжимающие отображения

[ewert]

про альфу сказано, что она существует. Сказано неявно -- фраза, строго говоря, неаккуратна, её следовало бы начать: "существует такая альфа, что для всех иксов и игреков..." Но это -- вполне употребительный жаргон. А вот про эпсилон не сказано ровным счётом ничего. Этот фрагмент утверждения лишён всякого смысла.

[Brukvalub]

TOTAL писал(а):

Запись $0<\alpha<1-\varepsilon<1$ подразумеват, что найдётся один $\varepsilon$ для всех отображаемых элементов. Для сжимающего отображения это не всегда так. Кроме того, согласно написанному определению отображение $f(x)=100+x/10$ не будет сжимающим, хотя оно сжимающее.

Проверяю определение:

\[ \left| {f(x) - f(y)} \right| = \left| {\frac{x}{{10}} - \frac{y}{{10}}} \right| = \frac{1}{{10}}\left| {x - y} \right| \]

Итак, определение сжимающего отображения выполнено с

\[ \alpha = \frac{1}{{10}}\;,\;\varepsilon = \frac{1}{2} \]

Добавлено спустя 3 минуты 10 секунд:

ewert писал(а):

А вот про эпсилон не сказано ровным счётом ничего. Этот фрагмент утверждения лишён всякого смысла.

Нет, не лишен. Он имеет педагогический смысл. Учащемуся лишний раз подчеркивают, что константа в определении сжимающего отображения должна быть отделена от 1. Это способствует лучшему пониманию и запоминанию.

[TOTAL]

Brukvalub писал(а):

Проверяю определение:

\[ \left| {f(x) - f(y)} \right| = \left| {\frac{x}{{10}} - \frac{y}{{10}}} \right| = \frac{1}{{10}}\left| {x - y} \right| \]

Итак, определение сжимающего отображения выполнено с

\[ \alpha = \frac{1}{{10}}\;,\;\varepsilon = \frac{1}{2} \]

Согласно тому определению надо проверять

$$ \left| {f(x - y)} \right| = \left| 100+\frac{x-y}{{10}} \right|$$

Добавлено спустя 4 минуты 47 секунд:

ewert писал(а):

про альфу сказано, что она существует. Сказано неявно -- фраза, строго говоря, неаккуратна, её следовало бы начать: "существует такая альфа, что для всех иксов и игреков..." Но это -- вполне употребительный жаргон. А вот про эпсилон не сказано ровным счётом ничего. Этот фрагмент утверждения лишён всякого смысла.

Про эпсилон сказано столько же, сколько и про альфа.

[Dan B-Yallay]

ewert писал(а):

Грубая оценка давалась не в качестве определения, а в качестве грубой оценки, гарантирующей сжимаемость, и её вполне достаточно.

А вот Вы, надо сказать, в своём определении подзагнули. Просто 0<\alpha<1$, и баста.

Человека попросили дать определение сжимающего определения, а не грубую оценку. Читайте пожалуйста внимательней и обратите внимание на пост worm2.

ewert писал(а):

TOTAL писал(а):

Запись $0<\alpha<1-\varepsilon<1$ подразумеват, что найдётся один $\varepsilon$ для всех отображаемых элементов.

Запись $0<\alpha<1-\varepsilon<1$ ровным счётом ничего не подразумевает, поскольку в той фразе ни содержалось решительно никакой информации про эпсилон (в отличие, между прочим, от альфы).

ewert писал(а):

Теперь я уверен! теперь Вы меня убедили! что его определение даже и не полно! надо так:

$0<\alpha<1-\varepsilon<1-{\varepsilon\over2}<{3-\delta\over3}<1$.

Вот теперь -- полный ажур. Какое богатство информационного содержания!

ewert вы опять выеживаетесь?

Я уверен, что вы понимаете разницу между строго сжимающим отображением (которое с епсилон) и просто сжимающим, но специально (для человека чтобы он знал) разделил их. Вам интересно придираться к буквам?


PS Я сам тоже "хорош", Brukvalub указал на опечатку и определение следует читать:

$\exists \, (0<\alpha < 1) \, \forall \, x, y \in X : ||K(x)-K(y)|| \le \alpha ||x-y||,$ для строго сжимающего и

$ \forall \, x, y \in X : ||K(x)-K(y)|| < ||x-y||,$ для сжимающего.

А вообще надо мне прекращать давать определения "по памяти".

[RIP]

Dan B-Yallay писал(а):

PS Я сам тоже "хорош", Brukvalub указал на опечатку и определение следует читать:

$\exists \, (0<\alpha < 1) \, \forall \, x, y \in X : ||K(x)-K(y)|| \le \alpha ||x-y||,$ для строго сжимающего и

$ \forall \, x, y \in X : ||K(x)-K(y)|| < ||x-y||,$ для сжимающего.

А откуда такая терминология? Нигде такой не встречал (не подумайте, что я Вам не верю; просто интересно).

P.S. А на ошибку Вам указал вроде бы TOTAL.

P. P. S. Второму из Ваших определений не может удовлетворять ни одно отображение (возьмите $x=y$).

[fru1t]

мой вопрос прям дебаты устроил.... и все-таки.. как мне теперь неподвижную точку этого оператора найти? я знаю только, что нужно решить уравнение $x(t) = Ax(t)$

[RIP]

fru1t
Прочитайте это сообщение ewert. Если вдруг слова "конечномерный оператор второго ранга" Вас пугают, то не обращайте на них внимания. На содержание сообщения в цитате тоже не обращайте внимания.

[Dan B-Yallay]

RIP писал(а):

А откуда такая терминология? Нигде такой не встречал (не подумайте, что я Вам не верю; просто интересно).

Это идет из нелинейного анализа, в частности принципа Банаха о неподвижной точке.

1) Пусть функция $f:X \rightarrow X$ определена на полном метрическом пространстве $X$ и при этом является "строго сжимающим" отображением. Тогда $f$ имеет неподвижную точку.
_____________________
В англ. литературе используется термин strict contraction (поэтому я пишу "строго сжимающее", хотя может в русскоязычной литературе приняты другие термины?) или $k$-contraction, где $k$ и есть та самая $\alpha : \, 0 <\alpha <1$. Естественно надо использовать метрику, а не норму как у меня, но думаю это несмертельно. Я ж блин на память понадеялся когда давал определение...
_____________________

В случае если $f$ не является "строго" сжимающей, есть следующий контрпример:

$f: [1, \infty) \rightarrow [1,\infty)$
$f(x) = x + \frac{1}{x+1}$
Очевидно что для любых $x,y \in [1, \infty)$
$|f(x) - f(y)| = |x - y| \left(1- \frac{1}{(x+1)(y+1)} \right ) < |x-y| $
но у этой функции нет фиксированной точки

2) Требование "строгой сжимаемости" можно ослабить до просто "сжимаемости", если дополнительно потребовать от метрического пространства $X$ компактности. Тогда отображение опять будет иметь неподвижную точку.

RIP писал(а):

P.S. А на ошибку Вам указал вроде бы TOTAL.

Да, я это заметил, но позже. Сначала отреагировал на ЛС от Brukvalub

RIP писал(а):

P. P. S. Второму из Ваших определений не может удовлетворять ни одно отображение (возьмите $x=y$).

Ээээ не понял... Почему $x=y$ должно удовлетворять определению сжимающего отображения если оно таковым не является? А вот контрпример, кстати, подходит.

Если надо, могу привести тут определения из лекций. Учебника не помню. Может найдете какую-нибудь неточность - буду только благодарен.

[fru1t]

RIP писал(а):

fru1t
Прочитайте это сообщение ewert. Если вдруг слова "конечномерный оператор второго ранга" Вас пугают, то не обращайте на них внимания. На содержание сообщения в цитате тоже не обращайте внимания.

а нельзя подробнее? раскрою я скобки и что дальше делать?

[RIP]

Dan B-Yallay писал(а):

В англ. литературе используется термин strict contraction (поэтому я пишу "строго сжимающее", хотя может в русскоязычной литературе приняты другие термины?) или $k$-contraction, где $k$ и есть та самая $\alpha$ которая находится между нулем единицей. Я ж блин на память понадеялся и дал определение...

Я встречал только термин "сжимающее отображение" (без слова строго).

Dan B-Yallay писал(а):

RIP писал(а):

P. P. S. Второму из Ваших определений не может удовлетворять ни одно отображение (возьмите $x=y$).

Ээээ не понял... Почему $x=y$ должно удовлетворять определению сжимающего отображения если оно таковым не является? .

Вы даёте такое определение сжимающего отображения (в русской литературе названия для него я не встречал):

Dan B-Yallay писал(а):

$ \forall \, x, y \in X : ||K(x)-K(y)|| < ||x-y||,$

Я говорю: согласно этому определению, вообще не существует сжимающих отображений: легко проверить, что при $x=y$ неравенство $\|K(x)-K(y)\|<\|x-y\|$ неверно, какое бы ни было $K$.

Добавлено спустя 7 минут 54 секунды:

fru1t писал(а):

RIP писал(а):

fru1t
Прочитайте это сообщение ewert. Если вдруг слова "конечномерный оператор второго ранга" Вас пугают, то не обращайте на них внимания. На содержание сообщения в цитате тоже не обращайте внимания.

а нельзя подробнее? раскрою я скобки и что дальше делать?

Обратите внимание на то обстоятельство, что для любой функции $x(t)$ функция $Ax(t)$ имеет весьма специальный вид (это и имел в виду ewert, когда говорил "конечномерный оператор второго ранга"; не знаю, правда, законно ли так говорить в данном случае, поскольку отображение не линейное). Поэтому если $x=Ax$, то и $x$ должен иметь как раз этот самый специальный вид. А дальше метод неопределённых коэффициентов.

[fru1t]

будет правильно, если я напишу
$x(t) = A - \cos{t} - t^{2/3}, где A = \int_{0}^{\pi/12} \sin{(t-s)}ds ?$

[Dan B-Yallay]

RIP писал(а):

Вы даёте такое определение сжимающего отображения (в русской литературе названия для него я не встречал):

Dan B-Yallay писал(а):

$ \forall \, x, y \in X : ||K(x)-K(y)|| < ||x-y||,$

Я говорю: согласно этому определению, вообще не существует сжимающих отображений: легко проверить, что при $x=y$ неравенство $\|K(x)-K(y)\|<\|x-y\|$ неверно, какое бы ни было $K$.

Вы правы, там нужен знак нестрогого неравенства.
Давайте я приведу все-таки определения, может сам нового чего узнаю.

__________________________
Определение Функция $f: (X,d_X) \to (Y,d_Y)$ отображающая метрическое пространство $X$ с метрикой $d_X$ в метрическое пространство $(Y,d_Y)$ называется Липшитц-непрерывной (или Липшитцевой), если существует константа $k$ такая что
$\forall \, x_1, x_2 \in X : d_Y(f(x),f(y)) \le k \, d_X(x_1, x_2)$
__________________________

$k$ еще называется константой Липшитца. Далее,
__________________________
Определение $f:X \to X$ называется сжимающим (contraction), если

$\forall \, x_1, x_2 \in X : d_X(f(x),f(y)) \le d_X(x_1, x_2)$
то есть $f$ - Липшитцева с константой $k=1$

Определение $f:X \to X$ называется строго сжимающим (strict contraction or $k$-contraction), если $f$ - Липшитц-непрерывна и $k <1$
__________________________

Разницу между строгим и нестрогим сжиманием я вроде привел на контрпримере.

PS Поглядел у Колмогорова - кажется в русскоязычной литературе сжиманием называется именно strict contraction, а остальное даже не рассматривается. Так что терминологический сыр-бор идет по моей вине. Прошу у всех извинения.

[RIP]

fru1t писал(а):

будет правильно, если я напишу
$x(t) = A - \cos{t} - t^{2/3}, где A = \int_{0}^{\pi/12} \sin{(t-s)}ds ?$

Нет, конечно. Почему $A$, хотя, судя по Вашей формуле, оно зависит от $t$? И вообще, откуда берётся это равенство?
Попробую объснить на простеньком примере. Найдём неподвижные точки отображения $A\colon C[0;1]\to C[0;1]$, $Ax(t)=\int_0^1sx(s)\,ds$. Заметим, что для любой функции $x(t)$ функция $Ax(t)$ постоянна, поэтому если $x=Ax$, то $x(t)=c=\mathrm{const}$. Чтобы найти эту постоянную, надо просто подставить $x(t)=c$ в уравнение $x=Ax$.
В Вашем примере примерно то же самое, только вычислений побольше.

[fru1t]

тогда
$ x(t) = x(t) \int_{0}^{\pi/12}\sin{(t-s)}ds - \cos{t} - t^{3/2}$

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

или я не понимаю как делать... напишите уравнение которое надо решить

[Dan B-Yallay]

fru1t писал(а):

тогда
$ x(t) = x(t) \int_{0}^{\pi/12}\sin{(t-s)}ds - \cos{t} - t^{3/2}$

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

или я не понимаю как делать... напишите уравнение которое надо решить

$x(t) = A(x)(t)$ или, что то же самое :
$x(t) = {\int\limits_{0}^{\pi /12}{\sin(t-s)x(s)ds} - \cos{t} - t^{2/3}$

Вроде последнее и надо решать.