Что-то вроде дуополии Хотеллинга или задача о магазинах

[Juicer]

У нас есть отрезок $[a,b]$. В левом конце расположен склад первого магазина, в правом (b) - склад второго мазагина. x - координаты первого магазина, y - второго.

Игра с двумя игроками: магазинами (или их директора). Нам надо их расположить как-то ближе и друг к другу, и к своим складам. Есть множества стратегий: $S_1 = S_2 = [a, b]$. Ну и нужно найти все точки равновесия
Функции выигрыша:

$$H_1(x,y)=-|x-a|-\frac{1}{3}|x-y|$$

$$H_2(x,y)=-|y-b|-\frac{1}{4}|x-y|$$

Похоже на дуополию Хотеллинга. Но как здесь найти точки равновесия? Просто приравнять две функции? И что дальше тогда?

[mihaild]

Почему приравнять? Если добавить к выигрышу первого игрока константу, то равновесие не изменится, а равенство выигрышей - изменится.
Честно найдите минимум $H_1$ по $x$ при фиксированном $y$ и минимум $H_2$ по $y$ при фиксированном $x$.

[Juicer]

mihaild в сообщении #1495236 писал(а):

Почему приравнять? Если добавить к выигрышу первого игрока константу, то равновесие не изменится, а равенство выигрышей - изменится.
Честно найдите минимум $H_1$ по $x$ при фиксированном $y$ и минимум $H_2$ по $y$ при фиксированном $x$.

да, ок, идея найти критические точки тоже была, но там же модуль. его просто нулём доопределить?

[mihaild]

Juicer в сообщении #1495251 писал(а):

идея найти критические точки тоже была, но там же модуль. его просто нулём доопределить?

Не надо его ничем доопределять, он уже везде определен.
И искать надо не критические точки, а экстремумы. Если функция дифференцируема всюду, кроме конечного числа точек, то экстремум у неё либо в критической точке, либо в точке недифференцируемости. Просто честно проверьте оба вида.

[Juicer]

mihaild в сообщении #1495270 писал(а):

Juicer в сообщении #1495251 писал(а):

идея найти критические точки тоже была, но там же модуль. его просто нулём доопределить?

Не надо его ничем доопределять, он уже везде определен.
И искать надо не критические точки, а экстремумы. Если функция дифференцируема всюду, кроме конечного числа точек, то экстремум у неё либо в критической точке, либо в точке недифференцируемости. Просто честно проверьте оба вида.

Продифференцировал, получились производные, не равные нулю в обоих случаях - точки не критические.
Получается, экстремум только в точках $x^* = a, y^* = b$ и "ставить магазины" нужно именно там?

[EUgeneUS]

Juicer в сообщении #1495952 писал(а):

Получается, экстремум только в точках $x^* = a, y^* = b$ и "ставить магазины" нужно именно там?

У меня так же.

Модули можно раскрыть сразу, а не перебирать все варианты.
1. Сразу ясно, что $a \leqslant x,y \leqslant b$, поэтому первые модули в обеих функциях выигрыша раскрываются однозначно.
2. Также сразу ясно, что не может быть $x >y$, так как в этом случае у каждого есть более выигрышная стратегия. И вторые модули тоже раскрываются однозначно.

[Juicer]

EUgeneUS в сообщении #1495963 писал(а):

Модули можно раскрыть сразу

Да, я так и сделал, когда решал, просто сюда не написал.
Каким-то странно тривиальным получилось решение. Разве не выгодно также будет поставить ещё магазины на четверти и трёх четвертях отрезка $[a, b]$?

[mihaild]

Juicer в сообщении #1495969 писал(а):

Разве не выгодно также будет поставить ещё магазины на четверти и трёх четвертях отрезка $[a, b]$?

Нет.
На самом деле сразу видно, что расстояние до второго магазина можно выкинуть - передвигая свой магазин ближе к своему складу мы в любом случае выигрываем больше, чем проигрываем из-за удаления от второго магазина.