Что такое потенциал?

[KregSeptim]

1) В учебниках по теормеху (Голдстейн, Ольховский) часто пишут (сила, действующая со стороны точки $i$ на точку $j$) $\mathbf{F}_{ij} = -\nabla_{j}V$, говоря, что $\nabla_{j}V$ означает градиент по радиус-вектору точки $i$. Это означает градиент в точке $\mathbf{r}_j$?

2) Допустим, у нас есть система из двух взаимодействующих точек. Тогда каждая из них создает свое силовое поле, в котором находится другая точка. Почему тогда мы говорим про то, что потенциальная энергия относится ко всей системе? Тут, в сущности, получаются два разных поля, в которых пребывают точки, нет? Что вообще строго значит фраза "Потенциальная энергия относится не к точкам, а ко всей системе в целом"?

3) Голдстейн при обсуждении переноса закона сохранения энергии на системы точек говорит, что силы взаимодействия между точками могут быть получены как градиенты одного-единственного потенциала в соответствующих точках. Откуда это следует?

[realeugene]

2) Потенциальная энергия системы из N точек - это функция в пространстве размерности 3N. Что такое "градиент по радиус-вектору точки" уже не помню :( Видимо как-то градиент в 3N-мерном пространстве сводят к трёхмерному.

[Alex-Yu]

KregSeptim в сообщении #1494811 писал(а):

) В учебниках по теормеху (Голдстейн, Ольховский)

Может лучше читать что-нибудь более вразумительное? ЛЛ1 например. А то не ясно в чем вообще вопрос и что там пишут.

Вообще что-то говорить о силе, действующей на одну точку со стороны другой можно только в очень частном случае (впрочем, довольно распространенном), когда потенциал распадается на сумму парных потенциалов, каждый из которых зависит только от координат лишь двух материальных точек. Но это именно частный случай.

Если функция (парный потенциал) зависит от пары векторных координат, то для того, чтобы взять обычный трехмерный градиент, надо одну векторную координату зафиксировать (это просто параметр), а уже вторую считать полевой переменной и по ней брать производные. Градиент --- он от поля берется (в математическом смысле, что просто функция трех координат в обычном пространстве). Физически это понятно. Мы фиксируем свое внимание на одной единственной мат. точке и рассматриваем, как на нее (именно на нее) действуют остальные материальные точки. При этом координаты этих остальных мат. точек надо считать константами и никаких производных по ним не брать. Так же и в случае, когда потенциал не разбивается на сумму парных потенциалов. А вообще этим всем лучше не парится, а берем вариационный принцип и находим уравнения Лагранжа. Читайте ЛЛ. Вообще несколько точек можно рассматривать как одну точку, но в 3N-мерном пространстве (конфигурационном). Для классической механики это не так чтобы обязательно, хотя и удобно, а вот когда переходим к квантовой механики, то там вообще иначе невозможно.

-- Ср дек 02, 2020 13:21:30 --

KregSeptim в сообщении #1494811 писал(а):

получаются два разных поля, в которых пребывают точки, нет?

Эти два разных поля сводятся к одной функции, но уже не трех, а шести переменных (координаты обеих точек). И если эти две точки взаимодействуют между собой, то два отдельных поля сделать вообще нельзя, разве что если зафиксировать координаты одной из точек, а координаты другой считать полевыми координатами.

[sergey zhukov]

KregSeptim
Все тела системы погружены в суммарное поле созданного ими потенциала. Это поле потенциала не нужно разделять на поля отдельных частиц. Это общее поле системы.

Градиент поля этого суммарного потенциала в точке нахождения каждого тела показывает силу, действующую на это тело. Это и значит, что сила, действующая на данное тело со стороны всех остальных тел, пропорциональна градиенту потенциала системы в точке нахождения этого тела.

[DimaM]

KregSeptim в сообщении #1494811 писал(а):

1) В учебниках по теормеху (Голдстейн, Ольховский) часто пишут (сила, действующая со стороны точки $i$ на точку $j$) $\mathbf{F}_{ij} = -\nabla_{j}V$, говоря, что $\nabla_{j}V$ означает градиент по радиус-вектору точки $i$. Это означает градиент в точке $\mathbf{r}_j$?

Строго говоря, вводить силу $\mathbf{F}_{ij}$ можно только в случае, если полный потенциал есть сумма парных взаимодействий,

$$U=\frac{1}{2}\sum_{i,j}U_{ij}(r_{ij}).$$

Тогда заявленный градиент - это производная $\frac{\partial U_{ij}}{\partial\mathbf{r}_{ij}}$.

[KregSeptim]

А-а-а, то есть потенциал это скалярное поле на конфигурационном пространстве, все встало на свои места, спасибо. Я активно пытался видеть потенциал как поле в обычном пространстве.

[sergey zhukov]

KregSeptim
Потенциал - это и есть скалярное поле в обычном пространстве. Например, гравитационный потенциал сложной системы - это разве не скалярное поле в обычном пространстве? Обычная функция трех переменных в любой момент времени.

[KregSeptim]

sergey zhukov
Уже в случае двух тел гравитационный потенциал это функция вида $V = V(|\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1|)$, то есть функция в $\mathbb{R}^6$ (при отсутствии связей). В ЛЛ1 также потенциал определяется как функция от обобщенных координат системы, то есть он определен в конфигурационном пространстве. Можно зафиксировать какие-то обобщенные координаты и смотреть уже на потенциал как на поле в $\mathbb{R}^3$, но это просто сужение.
По крайней мере я так все понял.

[sergey zhukov]

KregSeptim
Да, верно. Если систему с $N$ степенями свободы представлять точкой в $N$-мерном конфигурационном пространстве, то можно говорить и о поле потенциала в этом же $N$-мерном пространстве.