Пуля и космический корабль

[profilescit]

Weightlessness can be experienced also on spaceships performing ballistic motion (motion when engines are switched off). Let us consider an astronaut on geostationary orbit. This is a circular orbit around Earth which lies in the equatorial plane, and the period of motion on which is equal to $T_0 = 24 h$.
i. What is the radius of the geostationary orbit?
ii. For research reasons, the astronaut wants to hit his own spaceship with a bullet fired from a rifle equipped onto the spaceship. The speed of the bullet leaving the rifle is $u_0 = 1200 m/s$, the bullet’s velocity lies on the orbital plane.
Under which angle with respect to the vector pointing towards the centre of the Earth does he needs to aim the rifle if he wants to hit the spaceship within the next 40 hours? You don’t need to prove that there is only one suitable shooting angle.
You may use the expression for the total energy of an elliptical orbit, $E = - \frac{G M_{\oplus} m}{2 a}$ , where $a$ is the semi-major axis.
iii. He also tries out another rifle the bullet speed of which can be freely adjusted from zero to the maximal speed $u_m = 300 m/s$. With this rifle, he aims strictly along the motion of the spaceship. What is the bullet’s smallest possible travel
time until hitting the spaceship?
The radius of Earth $R_{\oplus} = 6.4 \times 10^6 m.$
Free fall acceleration at the sea level $g = 9.81 m/s^2$.

Вроде как не сложная задача, однако в решении совсем не то что я делал (касательно пункта ii).
Вот моя попытка решения:

i) Третий закон Кеплера $\frac{GM_{\oplus}}{4 \pi^2} = \frac{R^3}{T_0^2}$ откуда $R = \left( \frac{g R_{\oplus}^2 T_0^2}{4 \pi^2} \right)^{\frac{1}{3}}$ как и в ответе

ii) Чтобы узнать большую полуось орбиты пули, используем закон сохранения энергии $\frac{m v^2}{2} - \frac{g R_{\oplus}^2 m}{R} = - \frac{g R_{\oplus}^2 m}{2 a}$ где $\vec{v} = \vec{u_0} + \vec{w}$ скорость пули относительно Земли ($\vec{w}$ это скорость корабля относительно земли), $w = \frac{2 \pi R}{T_0}$

Пусть $\theta$ тот самый угол который надо найти в задаче. Тогда $v^2 = u_0^2 + w^2 + 2 u_0 w \sin{\theta}$
Момент импульса (сохраняется в поле центральных сил) будет равен $L = m (w + u_0 \sin{\theta}) R$

$a = \frac{g R_{\oplus}^2 R}{2 g R_{\oplus}^2 - v^2 R}$ и является константой для заданного угла

Тогда и период орбиты пули $T^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{g R_{\oplus}^2}$ является константой

Тут и начинаются расхождения с официальным решением
Я ставлю условие $T < 40h$ и ищу семейство эллипсов и их пересечение с круговой орбитой (да еще чтобы и тот корабль в момент пересечения круговой орбиты находился в той же точке), приводит к очень длинным алгебраическим решениям.

А вот авторы ставят условие: Для того чтобы они пересеклись, достаточно чтобы период орбиты пули тоже был равен $T_0$, и дальше начинают приводит рассуждения понять которые я не могу.

The bullet will start moving with velocity $\vec{v} =\vec{w} +\vec{u_0}$, where the angle between \vec{w} and \vec{u_0} can be freely varied. Like any other satellite, the bullet will start moving along an ellipse around the centre of Earth. Obviously, the bullet can only hit the spaceship at points where the trajectories of the bullet and spaceship intersect. This cor-responds to intersections of an ellipse and a circle, and in this case, there are 2 intersections, since any satellite has only one closest approach to the centre of mass. One of the intersection points is already known — the point at which the bullet is shot out. From here, it is hopefully easy enough to see that a sufficient solution would be to make the bullet have an orbital period of $24 h$, since then, both the bullet and the spaceship will collide after $24 h$. The rest boils down to finding at what angle does one have to shoot to maintain the same orbital period. For this one can use the following reasoning. First note that from Kepler’s 3rd law, orbital period $T$ relates to the semi-major axis a as $T \sim a^{3/2}$. Therefore, if we want to maintain $T$ , the semi-major axis needs to be fixed. The semi-major axis is related to the total energy as $E = - \frac{G M_{\oplus} m}{2 a}$
As we can see, fixing the semi-major axis means that the total energy needs to stay constant and since total energy $=$ kinetic energy $+$ potential energy, the total speed of the bullet and the spaceship need to be equal at the instant when the bullet is shot! This can be easily achieved by making the angle between $\vec{w}$ and $ \vec{u_0}$ such that $\vec{w}$, $\vec{u_0}$, and $\vec{v}$ form an isosceles triangle.

Понимаю красоту их рассуждений: Нашли вот такое "простое" решение, и по тексту задачи не надо доказывать что другого нет. Красиво. Но вот как понять последний абзац - не знаю. Почему это скорость корабля и пули должны быть равны в момент стрельбы? Если это пойму, остальное смогу осилить.

[EUgeneUS]

а)

profilescit в сообщении #1494794 писал(а):

Under which angle with respect to the vector pointing towards the centre of the Earth does he needs to aim the rifle if he wants to hit the spaceship within the next 40 hours?

Это означает, что поразить нужно за менее чем два витка (два витка - 48 часов).

б)

profilescit в сообщении #1494794 писал(а):

You don’t need to prove that there is only one suitable shooting angle.

Это означает, что можно не заморачиваться единственностью или оптимальностью (чтобы это не означало) решения. Достаточно рассчитать каким угодно, наиболее простым способом (см. пункт в)), как попасть, например, за ровно один виток.

в)

profilescit в сообщении #1494794 писал(а):

You may use the expression for the total energy of an elliptical orbit, $E = - \frac{G M_{\oplus} m}{2 a}$ , where $a$ is the semi-major axis.

Это прямое указание на рекомендуемый способ решения.

-- 01.12.2020, 19:31 --

profilescit в сообщении #1494794 писал(а):

Но вот как понять последний абзац - не знаю. Почему это скорость корабля и пули должны быть равны в момент стрельбы? Если это пойму, остальное смогу осилить.

Чтобы попасть в корабль за один виток, периоды д.б. равны $\Rightarrow$
Чтобы периоды были равны, д.б. равны большие полуоси $\Rightarrow$
Чтобы были равны большие полуоси, д.б. равны полные энергии (приведенные к единице массы) $\Rightarrow$
Так как в момент $t=0$ положения пули и корабля совпадают, то чтобы были равны полные энергии (приведенные к единице массы) должны быть равны кинетические энергии (приведенные к единице массы)$\Rightarrow$
модули скоростей должны быть равны.

[profilescit]

EUgeneUS, cпасибо за понятное разъяснение!
Именно тот факт что равенство полуосей предполагает равенство приведенной энергий я пропустил...

Кстати, можно как либо доказать единственность и/или оптимальность решения относительно простыми способами?

[EUgeneUS]

"Оптимальность" - нужно определить, что это такое.
Единственность - не знаю. Для одного витка, очевидно, есть две точки пересечения. Можно ли попасть во вторую за меньше, чем один виток, видимо - да. Но это не точно. Считать надо.