Асимптотика экспоненты и степени

[KregSeptim]

Возможно ли более-менее элементарными методами вывести разложение экспоненты и $(1 + x)^{a}$ в окрестности 0 до квадратичных членов включительно не прибегая к производной?
К сожалению, собственных попыток решения не будет, поскольку смутно представляю себе решение этой задачи, но готов активно следовать подсказкам.

[Odysseus]

Не совсем без производных, но посмотрите Зельдович, Яглом "Высшая математика для начинающих физиков и техников", гл.4, параграфы 8 и 5.

Также можно просто вспомнить бином Ньютона.

И я помню вы недавно спрашивали про математику на физическом уровнем сложности. Эта книга, думаю, вам была бы интересна.

[Padawan]

$e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac xn\right)^n$. Раскрыть скобки и оценить хвост геометрической прогрессией.

[Padawan]

И после того, как мы нашли, что $e^x=1+x+\frac{x^2}2+o(x^2)$ при $x\to 0$, то подставляя сюда $x=\ln(1+y)=y+o(y)$, получим

$$ 1+y=1+\ln(1+y)+\frac{(y+o(y))^2}{2}+o(y^2), \ y\to 0\Longrightarrow \ln(1+y)=y-\frac{y^2}{2}+o(y^2), \ y\to 0. $$

Далее $(1+x)^\alpha=e^{\alpha\ln (1+x)}$, подставляем одно разложение в другое.

[KregSeptim]

Padawan
Спасибо, все получилось.