Полином Жегалкина

[Daniil_Sh]

Если $x_1=z_1\oplus z_3$, $x_2=z_1\oplus z_2$, $x_3=z_1$, то есть $p(z_1,z_2,z_3)=(z_1\oplus z_3,z_1\oplus z_2,z_1)$, то $f\circ p(z_1,z_2,z_3)=z_1\oplus z_2z_3$, но $p^{-1}(x_1,x_2,x_3)=(x_3,x_2\oplus x_3,x_1\oplus x_3)$.
Если просто добавлять функцию, то, конечно, обратное преобразование совпадает с прямым.
А разложение по переменной – это же просто другое представление той же функции, минимальные ДНФ будут совпадать. Чем тогда $g_{i}\oplus h_{i}$ отличается от $g\oplus h$?

[Лукомор]

Daniil_Sh в сообщении #1495747 писал(а):

А разложение по переменной – это же просто другое представление той же функции, минимальные ДНФ будут совпадать. Чем тогда $g_{i}\oplus h_{i}$ отличается от $g\oplus h$?

Тут я виноват, не четко выразился.

Раз уж Вы упомянули ДНФ, видимо Вы разложили функцию $h(z_1,z_2,z_3)=z_1\oplus{z_1z_2}\oplus{z_1z_3}$
по $z_1$, потом получившуюся функцию - по $z_2$, и вновь, получившуюся функцию - по $z_3$.
Так можно найти СДНФ или СКНФ, но это нам сейчас не нужно.

Я Вам предлагал исходную $h(z_1,z_2,z_3)=z_1\oplus{z_1z_2}\oplus{z_1z_3}$
разложить по $z_1$, которая даст нам $x_1(z_1,z_2,z_3)$,
потом снова разложить эту же $h(z_1,z_2,z_3)=z_1\oplus{z_1z_2}\oplus{z_1z_3}$ ,
уже по $z_2$, и получить $x_2(z_1<z_2,z_3)$,
и снова разложить $h(z_1,z_2,z_3)=z_1\oplus{z_1z_2}\oplus{z_1z_3}$, уже по $z_3(z_1,z_2,z_3)$,
и получить $x_3(z_1,z_2,z_3)$.

Daniil_Sh в сообщении #1495747 писал(а):

Если $x_1=z_1\oplus z_3$, $x_2=z_1\oplus z_2$, $x_3=z_1$, то есть $p(z_1,z_2,z_3)=(z_1\oplus z_3,z_1\oplus z_2,z_1)$, то $f\circ p(z_1,z_2,z_3)=z_1\oplus z_2z_3$, но $p^{-1}(x_1,x_2,x_3)=(x_3,x_2\oplus x_3,x_1\oplus x_3)$.

Где Вы берете такие формулы?
Вы хоть немножко подробнее расписывайте ваши преобразования, где что взяли, куда подставили,
а то результаты вашей деятельности иногда обескураживают...

[Daniil_Sh]

$x_1=z_1\oplus z_3$, $x_2=z_1\oplus z_2$, $x_3=z_1$ – одна из 576 обратимых подстановок для получения $z_1\oplus z_2z_3$ из $x_1x_2\oplus x_1x_3\oplus x_2x_3$. Проверим:

$$(z_1\oplus z_3)(z_1\oplus z_2)\oplus (z_1\oplus z_3)z_1\oplus (z_1\oplus z_2)z_1=z_1\oplus z_3z_1\oplus z_1z_2\oplus z_3z_2\oplus z_1\oplus z_3z_1\oplus z_1\oplus z_2z_1=z_1\oplus z_2z_3$$

Найдём обратную к $p$: $z_1=x_3$, $z_2=z_1\oplus x_2=x_3\oplus x_2$, $z_3=x_1\oplus z_1=x_1\oplus x_3$.

[Лукомор]

Daniil_Sh в сообщении #1495831 писал(а):

одна из 576 обратимых подстановок

Тогда при чем тут вообще полином Жегалкина?
В смысле, не используя никаких средств, кроме алгебры Жегалкина, Вы ничего не добьетесь.
Переходите к ДНФ, и там ищите, если у Вас есть 576 подстановок, которые дают одинаковый результат,
то подметить какую-нибудь закономерность не составит труда, я думаю.
И первая из этих закономерностей: одна из функций ${x_1,x_2,x_3}$ для всех подстановок будет равна $z_1$.
Проверьте, возможно я ошибаюсь...