ЛЛ. т2. Вторая пара уравнений Максвелла

[kzv]

Здравствуйте.
Пробую разобраться, как в ЛЛ получены уравнения Максвелла. Споткнулся на параграфе 30, в моем издании это стр. 104 - 107 "Вторая пара уравнений Максвелла".
В учебнике берется вариация действия, которая после несложных преобразований превращается в формулу:

$\delta{S}=-\frac{1}{c}\int\left\lbrace\frac{1}{c}j^i\delta{A_i}+\frac{1}{4\pi}F^{ik}\frac{\partial}{\partial{x^k}}\delta{A_i}\right\rbrace{d\Omega}$

Дальше цитата из учебника: "Второй из этих интегралов берем по частям, т.е. применяем теорему Гаусса"

Сразу же у меня вопрос: следуя логике, похоже что тут отождествляется интегрирование по частям и теорема Гаусса??? Или я что-то не правильно понимаю? Всегда думал, что это две разные формулы:

Интегрирование по частям: $\int{UdV}=UV-\int{VdU}$

Теорема Гаусса (формула Остроградского-Гаусса): $\int{\operatorname{div}\vec{F}dV}=\int{\vec{F}d\vec{S}}$

Дальше в учебнике следует формула (полученная из предыдущей формулы то ли интегрированием по частям, то ли из т.Гаусса):

$\delta{S}=-\frac{1}{c}\int\left\lbrace\frac{1}{c}j^i+\frac{1}{4\pi}\frac{\partial{F^{ik}}}{\partial{x^k}}\right\rbrace\delta{A_i}{d\Omega}-\frac{1}{4\pi{c}}\int{F^{ik}\delta{A_i}{dS_k}}|$

Судя по всему применялось все таки интегрирование по частям, то есть:

$\int{F^{ik}\frac{\partial}{\partial{x^k}}\delta{A_i}}{d\Omega}=UV-\int{VdU}=\int{F^{ik}\delta{A_i}{dS_k}}|-\int{\frac{\partial{F^{ik}}}{\partial{x^k}}\delta{A_i}{d\Omega}}$

Но раз уж в формуле вместо 4-объема появляется 4-поверхность, то каким-то образом видимо применили теорему Остроградского-Гаусса к какой-то 4-дивергенции? Интересно, как это сделано?

по т.Гаусса видимо что-то такое: $\int{F^{ik}\delta{A_i}{dS_k}}=\int{\frac{d{(F^{ik}\delta{A_i})}}{dx^k}d\Omega}$

Если именно так, то в принципе все сходится, но получается что есть где-то в природе какая-то общая четырехмерная формула Остроградского-Гаусса, которую я не могу нигде найти? Может кто-нибудь видел доказательство и знает как эта формула выглядит в общем виде?

[Pphantom]

kzv в сообщении #1493829 писал(а):

Сразу же у меня вопрос: следуя логике, похоже что тут отождествляется интегрирование по частям и теорема Гаусса???

Да.

kzv в сообщении #1493829 писал(а):

но получается что есть где-то в природе какая-то общая четырехмерная формула Остроградского-Гаусса, которую я не могу нигде найти? Может кто-нибудь видел доказательство и знает как эта формула выглядит в общем виде?

И интегрирование по частям, и формула Гаусса-Остроградского - это в общем-то частные случаи более общего утверждения, известного как теорема Стокса. Есть оная в более-менее любом учебнике по дифференциальной геометрии или матанализу.

[lek]

kzv в сообщении #1493829 писал(а):

есть где-то в природе какая-то общая четырехмерная формула Остроградского-Гаусса, которую я не могу нигде найти?

Параграф 6 в ЛЛ-2 (стр. 39, формула 6.15)

[kzv]

lek в сообщении #1493857 писал(а):

kzv в сообщении #1493829 писал(а):

есть где-то в природе какая-то общая четырехмерная формула Остроградского-Гаусса, которую я не могу нигде найти?

Параграф 6 в ЛЛ-2 (стр. 39, формула 6.15)

Спасибо! То что надо.

[Slav-27]

На полностью антисимметрических тензорах (которые иначе называют дифференциальными формами) есть операция внешнего умножения $\alpha\wedge\beta$ и операция внешнего дифференцирования $d\alpha$, причём дифференциал произведения $d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta + (-1)^{\widetilde\alpha}\alpha \wedge d\beta$, где $\widetilde\alpha$ -- валентность $\alpha$, то есть количество индексов; при перемножении валентности складываются, а при дифференцировании валентность повышается на 1. Кроме того, дифференциальную форму валентности $n$ можно интегрировать по $n$-мерной поверхности $M$ (которая может иметь границу $\partial M$), причём имеет место формула Стокса $\int_Md\alpha=\int_{\partial M}\alpha$. Эта формула обобщает формулу Ньютона -- Лейбница, формулу Грина, формулу Гаусса -- Остроградского и классическую формулу Стокса.

Из вышенаписанного получается следующая формула интегрирования по частям (обобщающая классическую): $\int_M d\alpha\wedge\beta=\int_M\Big( d(\alpha\wedge\beta)-(-1)^{\alpha}\alpha\wedge d\beta\Big)=\int_{\partial M} \alpha\wedge\beta-(-1)^{\alpha}\int_M\alpha\wedge d\beta$.

В книжке применяется именно это:

• в качестве $M$ берётся всё пространство, так что граничный член $\int_{\partial M}$ пропадает,
• $A_i$ рассматривается как форма валентности 1, причём $dA=F$, то есть $(dA)_{ij}=A_{j,i}-A_{i,j}=F_{ij}$,
• $\beta_i=\delta A_i$,
• $\alpha=\ast F$ определяется так, чтобы для любой $\gamma$ валентности 2 было верно равенство $\gamma\wedge\ast F =(\gamma\cdot F)d\Omega$, где $\gamma\cdot F=\sum_{i<j}\gamma^{ij}F_{ij}$.