2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пересечение двух траекторий, лежащих внутри сектора
Сообщение21.11.2020, 21:22 


02/08/18
7
В какой публикации доказывается следующее утверждение?

Пусть $e_1$ и $e_2$ образуют базис $R^2$, $T_1>0$, $T_2>0$ и

\begin{center}
$x_1 : [0,T_1]\rightarrow R^2$ , \quad  \quad $x_2 : [0,T_2]\rightarrow R^2$
 \end{center}

- непрерывные функции (движения) удовлетворяющие следующим условиям.

1) Начальная точка каждого движения лежит на луче, порожденном вектором $e_1$,
и начальная точка первого движения лежит дальше от нуля, чем начальная точка второго движения:

\begin{center}
$ x_1(0)= \alpha_1 \cdot e_1, \quad  x_2(0)= \alpha_2 \cdot e_1, \quad  \text{и} \quad  \alpha_1>\alpha_2>0 $.
\end{center}

2) Конечная точка каждого движения лежит на луче, порожденном вектором $e_2$,
и конечная точка второго движения лежит дальше от нуля, чем конечная точка первого движения:

\begin{center}
$ x_1(T_1)= \beta_1 \cdot e_2, \quad  x_2(T_2)= \beta_2 \cdot e_2, \quad  \text{и} \quad  \beta_2>\beta_1>0 $.
\end{center}


3) Траектории обоих движений лежат внутри сектора, порожденного векторами $e_1$, $e_2$:

\begin{center}
    $ \forall t \in (0,T_1) \quad \xi_1(e,x_1(t)) > 0 \quad \wedge \quad \xi_2(e,x_1(t))>0 $,

     $ \forall t \in (0,T_2) \quad \xi_1(e,x_2(t)) > 0 \quad \wedge \quad \xi_2(e,x_2(t))>0 $.
 \end{center}

Здесь $ \xi_1(e,\cdot)$ и $ \xi_2(e,\cdot)$ обозначают координатные функции для базиса $e=(e_1,e_2)$.

Тогда существуют такие моменты $t_1$ и $t_2$, что $x_1(t_1)=x_2(t_2)$,
то есть траектории движений пересекаются.

Предпочтительно элементарное доказательство.

Предположительно, доказательство можно провести последовательным делением некоторого начального треугольника, в котором лежат обе траектории и соответствующим выделением фрагментов траекторий, но этот путь оказывается громоздким.

Во вводном примере книги В. И. Арнольда "Обыкновенные дифференциальные уравнения" используется как очевидное такое утверждение.
Пусть в квадрате $ABCD$ кривая $L_1$ соединяет вершины $A$ и $C$, а кривая $L_2$ соединяет вершины $B$ и $D$. Если кривые линии полностью лежат в квадрате, то они пересекаются.
Это утверждение взаимосвязано с исходным утверждением сообщения. Мне кажется, что оба утверждения строго доказаны давно, в начале 20 века, когда решались первые топологические задачи. Но в доступных мне книгах по геометрии и топологии этих задач нет. Может быть на форуме мне что-то подскажут. Заранее благодарю.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.11.2020, 21:58 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
22607
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны не формулы;
- отсутствуют собственные содержательные попытки ответа на вопрос.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение23.11.2020, 14:20 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
22607
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Пересечение двух траекторий, лежащих внутри сектора
Сообщение24.11.2020, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17439
Москва
Alexander Frumkin в сообщении #1493643 писал(а):
Мне кажется, что оба утверждения строго доказаны давно
В первое утверждение я не вникал, а второе тривиально следует из теоремы Жордана. Возьмите ту дугу, которая соединяет точки $A$ и $C$, и дополните её двумя отрезками, обходящими вне квадрата, например, точку $D$, чтобы получить замкнутую кривую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пересечение двух траекторий, лежащих внутри сектора
Сообщение26.11.2020, 14:13 


02/08/18
7
Благодарю участника форума Someone за отклик на мое сообщение.
Мне кажется, что использовать теорему Жордана для решения описанных задач неестественно.
Во-первых, формулировка теоремы Жордана не содержит в себе никаких критериев классификации точек плоскости на внутренние и внешние по отношению к кривой, и нужно дополнительно доказать, что точка $B$ лежит в одной компоненте связности, а точка $D$ – в другой.
Во-вторых доказательство теоремы Жордана в любом варианте сложное. Предполагаю, что доказательство предложенных утверждений должно быть существенно проще. Поэтому мне кажется что более естественно, использовать эти утверждения при доказательстве теоремы Жордана.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group