2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Континуальность множества функций.
Сообщение24.05.2008, 20:06 
Экс-модератор


17/06/06
5004
(любопытность, навеянная темой про монотонные функции)

Множество (действительнозначных) измеримых функций на отрезке [0,1], рассматриваемых "с точностью до множества меры нуль", континуально. Хотя бы потому, что простых функций "с точностью до множества меры нуль" континуум. Хотя бы потому, что измеримых множеств "с точностью до множества меры нуль" континуум. Хотя бы потому, что открытых множеств континуум.

А что можно сказать в этом контексте про множество всех функций на [0,1] "с точностью до множества меры нуль"?

(извиняюсь за провокационно-альтернативщецкий заголовок)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.05.2008, 20:14 
Аватара пользователя


23/09/07
364
Неизмеримых функций не существует, господа конструктивные математики!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.05.2008, 20:23 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Эх, ну почему он прав по любому поводу ...
С.Лем писал(а):
... Эта примитивная констатация может удовлетворить лишь ум простака, но отнюдь не ученого, поскольку Высшая Школа Небытия тем, что существует, вообще не занимается; ...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.05.2008, 20:39 
Аватара пользователя


23/01/08
565
А мы вот проходили пример неизмеримого множества, правда там использовалась аксиома выбора(хотя наверно можно было просто брать наименьший и все). И кстати в курсе математической логике решали задачу, что множество всех действительных функций имеет мощность гиперконтинуум.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.05.2008, 20:40 
Экс-модератор


17/06/06
5004
И то, и другое - и "да", и очевидно. Вопрос про фактормножество множества функций по отношению эквивалентности "равны почти всюду".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.05.2008, 20:50 
Аватара пользователя


23/01/08
565
если верно, что 2 различные непрерывные функции обязательно принадлежат к разным классам эквивалентности, тогда я думаю что ответ - континуум.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.05.2008, 23:58 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Вот, нашел теорему в учебнике Колмогорова-Фомина:
Теорема(Н.Н.Лузина)
...Иначе говоря, измеримая функция может быть сделана непрерывной на $[a,b]$ путем её изменения на множестве сколь угодно малой меры.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2008, 06:59 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Spook писал(а):
А мы вот проходили пример неизмеримого множества, правда там использовалась аксиома выбора(хотя наверно можно было просто брать наименьший и все).


Ну, аксиомой выбора ведь пользоваться никто не запрещает :) А без аксиомы выбора, боюсь, неизмеримое множество не построить. Хотя не уверен...

Что касается основной задачи. Надо взять разбиение действительной прямой на континуум непересекающихся неизмеримых множеств (почему такое разбиение существует, пока не вижу, но мне кажется, что должно существовать). На каждом из элементов разбиения можно задавать функцию произвольным образом. Так что ответ --- гиперконтинуум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуальность множества функций.
Сообщение25.05.2008, 10:53 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
AD писал(а):
(любопытность, навеянная темой про монотонные функции)

Множество (действительнозначных) измеримых функций на отрезке [0,1], рассматриваемых "с точностью до множества меры нуль", континуально. Хотя бы потому, что простых функций "с точностью до множества меры нуль" континуум.

, а любую измеримую функцию можно приблизить простыми -- это имелось в виду?

Что ж, давайте тогда докажем счётность множества вещественных чисел. Берём множество рациональных чисел -- оно счётно. Любое вещественное число приближается рациональными...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2008, 11:23 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Эх, забыл про эту тему уже ...

Цитата:
, а любую измеримую функцию можно приблизить простыми -- это имелось в виду?

Что ж, давайте тогда докажем счётность множества вещественных чисел. Берём множество рациональных чисел -- оно счётно. Любое вещественное число приближается рациональными...
Я пользуюсь известным фактом, что континуальнозначных последовательностей континуум. Вы серьёзно не понимали или прикалывались?
_________________

Spook, речь идет в основном о неизмеримых функциях. Что измеримых функций континуум - это мы уже знаем.
_________________

Профессор Снэйп ... конструктивное предложение :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2008, 12:23 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
AD писал(а):
Профессор Снэйп ... конструктивное предложение :)


К сожалению, я так до сих пор и не понял, как доказывать существование нужного разбиения.

Идея пока только одна. Пусть $\mathcal{E}$ --- базис Гамеля $\mathbb{R}$ как векторного пространства над $\mathbb{Q}$ и $\mathcal{X} \subset \mathcal{E}$ --- его собственное подмножество. Рассмотрим $L = \mathcal{L}(\mathcal{X})$ --- его линейную оболочку. Тогда

$$
\{ x + L : x \in \mathcal{L}(\mathcal{E} \setminus \mathcal{X}) \}
$$

есть разбиение $\mathbb{R}$ на семейство непересекающихся множеств, каждое их которых получается сдвигом $L$ на какой-то элемент $\mathbb{R}$. Если $\mathcal{E} \setminus \mathcal{X}$ счётно, то $\mathcal{L}(\mathcal{E} \setminus \mathcal{X})$ тоже счётно и, значит, все элементы этого разбиения неизмеримы. А вот если $\mathcal{E} \setminus \mathcal{X}$ континуально? Как-то не верится, что во всех подобных случаях $L$ будет иметь меру $0$...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2008, 22:52 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
AD писал(а):
Эх, забыл про эту тему уже ...

Цитата:
, а любую измеримую функцию можно приблизить простыми -- это имелось в виду?

Что ж, давайте тогда докажем счётность множества вещественных чисел. Берём множество рациональных чисел -- оно счётно. Любое вещественное число приближается рациональными...
Я пользуюсь известным фактом, что континуальнозначных последовательностей континуум. Вы серьёзно не понимали или прикалывались?

Да, прикололся. Мне там показалось, что плотность каким-то способом пытаются привязать к равномощности, а это мне как-то не по душе. Но вполне возможно, что я и неправильно понял смысл того предложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуальность множества функций.
Сообщение13.10.2010, 18:36 
Экс-модератор


17/06/06
5004
В порядке некрофилии:
Профессор Снэйп в сообщении #122405 писал(а):
Надо взять разбиение действительной прямой на континуум непересекающихся неизмеримых множеств (почему такое разбиение существует, пока не вижу, но мне кажется, что должно существовать).
Вот >> тут << кто-то утверждает, что таки существует!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group