Монотонные функции

[Marrow]

Доказать, что множество монотонных отображений вида:

$$\ F: [a,b] -> \mathbb{R},$$

$\textsf{континуально}$

[Brukvalub]

Воспользуйтесь тем, что монотонная функция однозначно восстанавливается по своим значениям в рац. точках

[worm2]

Видимо, тут надо копать в сторону того, что множество точек разрыва монотонной функции не более, чем счётно, а на множестве непрерывности монотонная функция однозначно восстанавливается по значениям на подмножестве рациональных точек, тоже не более чем счётном...

[AD]

Brukvalub писал(а):

Воспользуйтесь тем, что монотонная функция однозначно восстанавливается по своим значениям в рац. точках

Неоднозначно. Вот я задам

$$f(x)=\begin{cases}1&,\quad x^2>2\\ 0&,\quad x^2<2\end{cases}$$

и чему равно $f(\sqrt{2})$?

Добавлено спустя 43 секунды:

Ну, в-общем, да, worm2 всё обаккуратнил.

[Brukvalub]

Согласен, чуть поспешил и ответил неаккуратно.

[Профессор Снэйп]

worm2 писал(а):

Видимо, тут надо копать в сторону того, что множество точек разрыва монотонной функции не более, чем счётно, а на множестве непрерывности монотонная функция однозначно восстанавливается по значениям на подмножестве рациональных точек, тоже не более чем счётном...

Да, копать надо туда

Нужное утверждение легко следует из следующих трёх фактов:

1) Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счётно.

2) Количество не более чем счётных подмножеств действительной прямой континуально.

3) Монотонная функция однозначно задаётся своими значениями в рациональных точках и точках разрыва.