Распределение суммы независимых случайных величин

[Stasya7]

$\xi$ - дискретная равномерная случайная величина, принимающая любое из $k$ возможных значений {$a_1, ..., a_k$} с одинаковой вероятностью $\frac{1}{k}$.

$\xi_1$, ..., $\xi_n$ - независимые одинаково распределенные случайные величины.

Как оценить вероятность того, что сумма $n$ случайных величин $\xi$ не превосходит заданной границы: $P(\xi_1+\xi_2+...+\xi_n \leqslant M)?

[alisa-lebovski]

Если имеется в виду, что $a_k\ge 0$ и оценить снизу, то использовать неравенство Маркова.
Если речь идет об асимптотической оценке, то использовать центральную предельную теорему.

[Stasya7]

alisa-lebovski, спасибо за Ваши ответы!

alisa-lebovski в сообщении #1493029 писал(а):

Если имеется в виду, что $a_k\ge 0$ и оценить снизу, то использовать неравенство Маркова.

Да, все $a_k\ge 0$.

Цитата:

Если речь идет об асимптотической оценке, то использовать центральную предельную теорему.

Пока я не рассматриваю предельный случай, интересуют вероятности при $n = 10, ..., 20$. Будет ли корректно давать приблизительную оценку вероятности с помощью ЦПТ в данном случае при таком количестве слагаемых?

[alisa-lebovski]

Stasya7 в сообщении #1493045 писал(а):

Будет ли корректно давать приблизительную оценку вероятности с помощью ЦПТ в данном случае при таком количестве слагаемых?

К сожалению, нет.

[Евгений Машеров]

На мой взгляд, наиболее существенным являются значения $a_i$. Скажем, если все они, кроме одного, невелики, а одно весьма велико, то ожидать хорошего приближения нормальным распределением при разумных значениях k не стоит. С другой стороны, достаточно долго для генерации нормально распределённых случайных величин использовали сумму 12 равномерно $U(0,1)$ распределённых, и удовлетворялись качеством.
Как вариант - оценить моменты суммы, начальные моменты будут $M_n=\frac 1 k \sum_{i=1}^k a_i^n$, затем перейти к центральным моментам и/или к семиинвариантам, и использовать, например, ряды Грама-Шарлье, или, ограничившись моментами до 4 порядка, попробовать систему распределений Пирсона. Насколько это поможет - зависит от того, насколько большие выбросы могут быть среди $a_i$.
А вообще Кендалл и Стьюарт, 1 том.

[abs135]

Попробуйте использовать неравенство Чернова. Оно немногим сложнее неравенства Маркова, но оценки асимптотические.

[abs135]

Поправка: экспоненциальные