Жескость системы

[assik]

Необходимо проверить на жесткость систему

$$ \left\{\begin{matrix} z'(t) = \sin(\varphi(t)),& & \\ \varphi'(t) =1+ \beta z(t), & & \end{matrix}\right. $$

с нулевыми значениями в начальной точке $t=0$, $\beta$ - положительная постоянная. Насколько я помню, необходимо сначала вычислить собственные числа якобиана системы

$$ \begin{pmatrix} -\lambda & \cos(\varphi)\\ \beta & -\lambda \end{pmatrix}=0. $$

Но одно из собственных чисел неотрицательно и критерий жесткости, связанный с матрицей Якоби, не применим. Как быть в таком случае?

[StaticZero]

assik, у жёсткости системы нет чёткого определения. Смысл жёсткости в том, что если у вас есть два решения, изменяющихся с сильно разной частотой, то в жёсткой системе нельзя сделать сетку грубой, иначе более медленное решение вы тоже не получите -- ошибка всё забьёт.

Второй пункт -- что жёсткие системы жёсткие не для всех алгоритмов, а для некоторого их класса (например, явные схемы в первую очередь). Но это к делу напрямую не относится.

Конкретно ваша система может быть сведена к уравнению для фазы $\ddot \varphi - \beta \sin \varphi = 0$, в котором можно ещё и порядок понизить и как следует проанализировать.

Мои примитивные соображения: так видно, что у фазы есть ступеньки и склоны. При больших $\beta$ ступеньки почти плоские, а склоны резкие. Если аппроксимировать склон прямой $\omega (t - t_0) + \varphi_0$, то величина $z$ изменяется (в течение склона) квазигармонически с частотой $\omega$. Учитывая существование частоты Найквиста, сетка вам нужна достаточно плотная, и тем плотнее, чем больше $\beta$.

Ваша задача, если подходить практически, состоит в том, чтобы определить связь потребного шага сетки с порядком $\beta$ для выбранного алгоритма.

Если же это учебное задание, то ничем помочь не могу, тут мне кажется проще узнать, чего хочет преподаватель, и сообразно этому действовать.