Помогите решить зачетное задание

[Dmytro Sheludchenko]

Здраствуйте! Помогите, пожадуйста разобраться с зачетным заданием по геометрии :
1.)Докажите, что вершины гиперболы и 4 точки пересечения ее директрис с асимптотами лежат на одной окружности.Выразить радиус этой окружности через длину действительной полуоси
2.)Найдите уравнение прямых, по которым поверхность конуса вращения $xy+xz+yz=0$ пересекается с плоскостью, проходящей через ось и точку (1,2,3).
3.))Найдите общую диаметральную плоскость трех поверхностей :
$ 3x^2+4xy+8x+8y-4z=0, x^2+y^2+z^2-4x+6z-3=0, 2x^2+2y^2+z^2-10xy+20x-8y+29=0 $

[Dmytro Sheludchenko]

В задаче 1 не могли бы ,пожалуйста подсказать идею решения.
В задаче 2 не могу найти ось конуса.
В задаче №№ не могли бы подсказать, как искать главную диаметральную плоскость.

[Brukvalub]

В № 1 - рассмотрите каноническое уравнение гиперболы, при таком задании гиперболы точки пересечения ее директрис с асимптотами являются вершинами прямоугольника с центром в начале координат, где и лежит центр искомой окружности. Ее радиус - половина диагонали этого прямоугольника. Вам остается написать уравнение окружности и проверить, что вершины гиперболы лежат на этой окружности.
В № 2 я бы привел кв. форму ортогональным преобразованием к главным осям - сразу станет видна ось конуса.
В № 3 один совет - Ваши руки должны крепко сжать учебник! ( в нем написано, что есть диаметральная плоскость).

[Dmytro Sheludchenko]

Я знаю, как искать диаметральную плоскость .А не понимаю, что такое главная диаметральная плоскость ?

[Brukvalub]

Dmytro Sheludchenko писал(а):

А не понимаю, что такое главная диаметральная плоскость ?

Разве в тексте задания упоминается такой термин???

[Dmytro Sheludchenko]

В задаче требуется найти общую диаметральную плоскость.То есть мне надо найти поочередно диаметральные плоскости для каждой из кривых ?

[Brukvalub]

Dmytro Sheludchenko писал(а):

То есть мне надо найти поочередно диаметральные плоскости для каждой из кривых ?

Где же Вы в третьем задании кривые-то увидели?

[Dmytro Sheludchenko]

Извиняюсь, конечно, вместо кривых поверхности

Добавлено спустя 1 час 1 минуту 33 секунды:

Привел уравнение конуса к виду $x^2-0.5y-0.5z=0$.Как теперь найти ось конуса ?

[Brukvalub]

Напишите, как приводили.

[Dmytro Sheludchenko]

Нашел собственные числа матрицы квадратичной формы. У меня получилось 1-корень первой кратности , -0.5-корень второй кратности.Затем нашел собственные векторы, отнормировал их и записал формулы перехода.

[Brukvalub]

Алгоритм Вы излагаете верный. Просто, видимо, в той части пространства, где Вы сейчас находитесь, перестал действовать закон инерции квадратичных форм, поэтому преобразованием Вам удалось изменить ранг формы с 3 на 1.

[Dmytro Sheludchenko]

Что вы мне посоветуете делать ?

[Brukvalub]

Dmytro Sheludchenko писал(а):

Что вы мне посоветуете делать ?

Пересчитать еще раз, чтобы перестать нарушать закон инерции кв. форм.

[Dmytro Sheludchenko]

Я понял свою ошибку. У меня в новых переменных получилось$ a^2*0.5b^2-0.5c^2=0 $ , где a,b,c выражаются через x,y,z.

[Echo-Off]

И на этот раз $*$ означает не свёртку и даже не умножение, а... сложение