Задача 3-х тел, периодическое движение

[profilescit]

В общем случае динамика трёх гравитационно взаимодействующих тел сложная и хаотичная. Однако существуют частные случаи, когда динамика регулярна. В некоторых частных случаях тела двигаются периодически.
В простейшем случае такого периодического движения все три тела, находящиеся в вершинах равностороннего треугольника, вращаются как одно твёрдое тело. Здесь мы рассмотрим более сложное периодическое движение.
Относительно недавно было обнаружено, что три одинаковые точечные массы могут двигаться периодически по об-щей траектории в форме восьмёрки, изображённой на рисунке (стрелка указывает направление движения).
Этот рисунок основан на компьютерной симуляции и обладает правильной формой.



Обозначим три тела цифрами $1$, $2$ и $3$, в порядке их прохождения крайней левой точки $P$, указанной на картинке. Пусть $O_{2}$ и $O_{3}$ обозначают положения тел $2$ и $3$ соответственно в тот момент, когда тело 1 проходит срединную точку $O$. Также, пусть $P_{2}$ и $P_{3}$ обозначают позиции тел $2$ и $3$ соответственно в тот момент, когда тело $1$ проходит крайнюю левую точку P. Пусть $T$ обозначает полный период движения каждого из тел по этой траектории в форме восьмёрки.

Задача: Найдите время пути для одного из тел: (a) от $O_{2}$ до $O$ (b) от $O_3$ до $P_2$.

С первым пунктом вроде как разобрался, получил $\frac{T}{3}$ из симметрии ( каждый из отрезков "равен" по времени прохождения). Однако, вызывает трудность нахождения ответа на второй пункт.

[slavav]

deleted

[Pphantom]

slavav в сообщении #1491868 писал(а):

Я не о задаче, а о картинке: на ней центр масс системы выше линии из точек. Такое возможно?

Нет. На картинке отмечены не тела, а два выделенных положения и стрелочка.

[slavav]

(Оффтоп)

Да я понял. Но было поздно. :(

[sergey zhukov]

profilescit
Тут неоднозначность, по моему. Как движется по траектрии тело в точке $O$ - вправо вниз или влево вниз? От этого положение точек $O2$ и $O3$ зависит.

[profilescit]

sergey zhulov только разницы в целом нет. Точки будут симметрично расположены в зависимости о того в какую сторону движется тело в точке $O$.
Но вроде как неопределенность исчезает после слов о том что первое тело определяется первым так что оно первым из всех пройдет точку $P$, а значит и движется влево вниз (по моей логике по крайней мере)

[StepV]

profilescit в сообщении #1491852 писал(а):

С первым пунктом вроде как разобрался, получил $\frac{T}{3}$ из симметрии ( каждый из отрезков "равен" по времени прохождения). Однако, вызывает трудность нахождения ответа на второй пункт.

Неправильно. У нас получилась фигура Лиссажу. По вертикали период колебания $ \frac T 2 $, а по горизонтали $ T $. Симметрия между телами соблюдается, если они по фазе отстают друг от друга на $ \frac \pi 2 $. Поэтому, к примеру, тело 1 из точки Р придет в точку О через $ \frac T 4 $. Все времена будут кратны $ \frac T 4 $. Написав, для всех трех тел уравнение Лиссажу с отставанием последовательно по фазе на $ \frac \pi 2 $ можно ответить на второй вопрос.

[profilescit]

На счет кратности временных отрезков $\frac{T}{4}$ вы правы. Это, вместе с ответом первого пункта, (а он все таки правильный, у задачи есть ответ) дают ответ на второй пункт $\frac{T}{12}$

[StepV]

profilescit в сообщении #1492283 писал(а):

Это, вместе с ответом первого пункта, (а он все таки правильный, у задачи есть ответ) дают ответ на второй пункт $\frac{T}{12}$

Согласен. Мое предположение касалось чисто периодического движения, а не движения в совместном поле притяжения.