2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача 3-х тел, периодическое движение
Сообщение12.11.2020, 13:47 
Аватара пользователя


12/02/20
282
В общем случае динамика трёх гравитационно взаимодействующих тел сложная и хаотичная. Однако существуют частные случаи, когда динамика регулярна. В некоторых частных случаях тела двигаются периодически.
В простейшем случае такого периодического движения все три тела, находящиеся в вершинах равностороннего треугольника, вращаются как одно твёрдое тело. Здесь мы рассмотрим более сложное периодическое движение.
Относительно недавно было обнаружено, что три одинаковые точечные массы могут двигаться периодически по об-щей траектории в форме восьмёрки, изображённой на рисунке (стрелка указывает направление движения).
Этот рисунок основан на компьютерной симуляции и обладает правильной формой.

ИзображениеИзображение

Обозначим три тела цифрами $1$, $2$ и $3$, в порядке их прохождения крайней левой точки $P$, указанной на картинке. Пусть $O_{2}$ и $O_{3}$ обозначают положения тел $2$ и $3$ соответственно в тот момент, когда тело 1 проходит срединную точку $O$. Также, пусть $P_{2}$ и $P_{3}$ обозначают позиции тел $2$ и $3$ соответственно в тот момент, когда тело $1$ проходит крайнюю левую точку P. Пусть $T$ обозначает полный период движения каждого из тел по этой траектории в форме восьмёрки.

Задача: Найдите время пути для одного из тел: (a) от $O_{2}$ до $O$ (b) от $O_3$ до $P_2$.

С первым пунктом вроде как разобрался, получил $\frac{T}{3}$ из симметрии ( каждый из отрезков "равен" по времени прохождения). Однако, вызывает трудность нахождения ответа на второй пункт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача 3-х тел, периодическое движение
Сообщение12.11.2020, 15:12 
Заслуженный участник


26/05/14
981
deleted

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача 3-х тел, периодическое движение
Сообщение12.11.2020, 15:19 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
slavav в сообщении #1491868 писал(а):
Я не о задаче, а о картинке: на ней центр масс системы выше линии из точек. Такое возможно?
Нет. На картинке отмечены не тела, а два выделенных положения и стрелочка. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача 3-х тел, периодическое движение
Сообщение12.11.2020, 15:57 
Заслуженный участник


26/05/14
981

(Оффтоп)

Да я понял. Но было поздно. :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача 3-х тел, периодическое движение
Сообщение12.11.2020, 16:21 


17/10/16
3893
profilescit
Тут неоднозначность, по моему. Как движется по траектрии тело в точке $O$ - вправо вниз или влево вниз? От этого положение точек $O2$ и $O3$ зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача 3-х тел, периодическое движение
Сообщение12.11.2020, 16:45 
Аватара пользователя


12/02/20
282
sergey zhulov только разницы в целом нет. Точки будут симметрично расположены в зависимости о того в какую сторону движется тело в точке $O$.
Но вроде как неопределенность исчезает после слов о том что первое тело определяется первым так что оно первым из всех пройдет точку $P$, а значит и движется влево вниз (по моей логике по крайней мере)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача 3-х тел, периодическое движение
Сообщение14.11.2020, 16:56 
Аватара пользователя


23/05/20
336
Беларусь
profilescit в сообщении #1491852 писал(а):
С первым пунктом вроде как разобрался, получил $\frac{T}{3}$ из симметрии ( каждый из отрезков "равен" по времени прохождения). Однако, вызывает трудность нахождения ответа на второй пункт.


Неправильно. У нас получилась фигура Лиссажу. По вертикали период колебания $ \frac T 2 $, а по горизонтали $ T $. Симметрия между телами соблюдается, если они по фазе отстают друг от друга на $ \frac \pi 2 $. Поэтому, к примеру, тело 1 из точки Р придет в точку О через $ \frac T 4 $. Все времена будут кратны $ \frac T 4 $. Написав, для всех трех тел уравнение Лиссажу с отставанием последовательно по фазе на $ \frac \pi 2 $ можно ответить на второй вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача 3-х тел, периодическое движение
Сообщение14.11.2020, 21:40 
Аватара пользователя


12/02/20
282
На счет кратности временных отрезков $\frac{T}{4}$ вы правы. Это, вместе с ответом первого пункта, (а он все таки правильный, у задачи есть ответ) дают ответ на второй пункт $\frac{T}{12}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача 3-х тел, периодическое движение
Сообщение15.11.2020, 13:06 
Аватара пользователя


23/05/20
336
Беларусь
profilescit в сообщении #1492283 писал(а):
Это, вместе с ответом первого пункта, (а он все таки правильный, у задачи есть ответ) дают ответ на второй пункт $\frac{T}{12}$


Согласен. Мое предположение касалось чисто периодического движения, а не движения в совместном поле притяжения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group