Произведение всех элементов конечной группы

[vlad239]

Как известно, произведение всех элементов конечной абелевой группы имеет порядок 1 или 2.

Требуется описать все неабелевы группы, обладающие тем же свойством (для ВСЕХ вариантов порядка умножения).

Я знаю такие примеры - $S_3$ (произведение - нечетная перестановка, поэтому транспозиция), $D_4$ (произведение не меняет ориентацию, а суммарный поворот какой-нибудь вершины кратен 180) и кватернионы (одно произведение можно вычислить, а при перестановке соседних множителей оно просто будет знак менять). Кроме того, $D_4$ и кватернионы можно прямо умножить на любую абелеву группу.

1) Есть ли еще примеры?
2) Описать все.

[mihiv]

Необходимое условие-неабелева группа должна быть четного порядка.

[vlad239]

Ага, поскольку элементов порядка 2 там иначе нет вовсе, а все произведения не могут быть е, потому что группа неабелева.

[mihaild]

Умные люди пишут, что все эти произведения - ровно какой-то класс смежности. Ну и несложно получить, что если этот класс смежности $xH$, то $xh = hx^{-1}$ (UPD: опечатка, должно быть $hx = xh^{-1}$) для всех $h \in H$. Ничего нетривиального из этого пока не придумывается(

[mihiv]

mihaild в сообщении #1491952 писал(а):

Умные люди пишут, что все эти произведения - ровно какой-то класс смежности.

Правильно ли я понимаю, что подгруппа $H$-это коммутант?

[mihaild]

mihiv в сообщении #1492200 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что подгруппа $H$-это коммутант?

Уже для $\mathbb Z_2$ нет. А почему это должно быть так?

[mihiv]

Я так понял эту цитату из ссылки:"Is it true that p(G) coincides with a coset modulo the derived group of G? The authers solved this problem in the affirmative."

[mihaild]

Похоже что и правда утверждают. Я в доказательство не вчитывался (и они активно ссылаются на A.R. Rhemtulla, On a problem of L. Fuchs, которую я найти не смог).
И да, я затупил - конечно же для $\mathbb Z_2$, и вообще для любой другой абелевой группы $H$ - это коммутант, т.к. все произведения совпадают.

[mihiv]

Если они действительно это доказали, то можно предложить такой практический способ поиска этих групп. В группе четного порядка строим коммутант $H$. С помощью элемента второго порядка $x$ строим смежный класс $xH$, если все элементы полученного смежного класса второго порядка, то группа имеет нужное свойство.

[mihaild]

Ну то что все произведения - смежный класс по коммутанту действительно очевидно. Коммутант нормален и фактор по нему абелев, так что $abH = baH$. А значит произведения, отличающиеся только порядком сомножителей, попадают в один смежный класс.

mihiv в сообщении #1492241 писал(а):

С помощью элемента второго порядка $x$ строим смежный класс $xH$

Только там не произвольный $x$ надо брать - мы не можем выбирать, какой получится.
Но да, дело сильно упрощается - вместо рассмотрения всех произведений достаточно найти одно, и посмотреть, что попадает в тот же смежный класс по коммутанту.

[mihiv]

mihaild в сообщении #1492243 писал(а):

Только там не произвольный $x$ надо брать - мы не можем выбирать, какой получится.

mihaild, да вы правы.

[mihaild]

Из этого можно получить например такую конструкцию: если $N$ - простая группа, в которой можно расположить элементы так, чтобы произведение было равно $e$ (например группа нечетного порядка), то $N \rtimes \mathbb Z_2$, где $\mathbb Z_2$ действует на $N$ обращением, нам подходит.

[mihiv]

Известно, что для группы перестановок $S_n$ коммутант - это знакопеременная группа порядка $\dfrac {n!}2$. Число элементов второго порядка в $S_n$ меньше $\dfrac {n!}2$ (при $n>3$), поэтому группы $S_n, n>3$ не подходят.

[mihiv]

Обозначим $Q_8$ группу кватернионов, $q_i$-элемент $Q_8$. Коммутант этой группы $C$ содержит 2 элемента: $e=1$ и $-1.$ Рассмотрим прямое произведение $F=Q_8\times Q_8$.
Коммутант прямого произведения: $C_{F}=C\times C. C_F$ содержит только элементы 2-ого порядка. Всевозможные произведения всех элементов группы $F$ совпадают с одним из смежных классов группы $F$ по $C_F$ (в частности это может быть $C_F$).
Перемножим все элементы группы $F$ следующим образом:

$$(q_1;q_1)\circ (q_1;q_2)\circ \dots (q_8;q_7)\circ (q_8;q_8)=(q_1^8\dots q_8^8;(q_1\dots q_8)^8)=(e;e)$$

Отсюда делаем вывод, что множество всевозможных произведений всех элементов совпадает с $C_F$, и мы получили группу с нужным свойством.
Если мы аналогичным образом перемножим все элементы группы $G=S_3\times S_3$, мы получим (как и для $F$), что множество произведений элементов совпадает с $C_G$, но поскольку $C_G$ содержит элементы 3-его порядка, то группа $G$ не имеет нужного свойства.

[mihiv]

Так как коммутант группы $D_4$ это группа 2-ого порядка, то, действуя так же как для группы $F$, получим, что нужное свойство имеют и группы $D_4\times D_4, Q_8\times D_4$.