2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Кубическое уравнение, корни, приводимость и пр.
Сообщение11.11.2020, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
nnosipov в сообщении #1491698 писал(а):
То, что $\eta_{(P)}^3 \in \mathbb{Z}[\varepsilon]$, тоже совсем не очевидно.

Верно, не очевидно. Хотел проскочить.
Рассмотрим алгебраическое число $\[\eta _{\left( P \right)}\]$
Распишем его так:
$\[
\eta _{\left( P \right)} ^{\left( t \right)}  = \varsigma _1 ^{\left( t \right)} \left( {e^{\frac{{2\pi l}}{P}g^{3k} t} } \right) + \varepsilon \varsigma _2 ^{\left( t \right)} \left( {e^{\frac{{2\pi l}}{P}g^{3k + 1} t} } \right) + \varepsilon ^2 \varsigma _3 ^{\left( t \right)} \left( {e^{\frac{{2\pi l}}{P}g^{3k + 2} t} } \right)
\]$

Где при $\[t = 1,...,P - 1\]$ получим
$\[P - 1\]$ различных изоморфизмов.
По другому: $t$ может принадлежать одному из трёх видов $\[g^{3a} ,g^{3a + 1} ,g^{3a + 2}\]$
Первый вид оставляет все $\[\varsigma \]$ на своих местах, второй сдвигает их вправо по кругу, третий - влево по кругу.
Для второго и третьего случая достаточно вынести за скобки $\[\varepsilon ^2 ,\varepsilon \]$ и снова все $\[\varsigma \]$ останутся на своих местах. После возведения в куб вынесенный элемент станет равным единице и мы получим $\[P - 1\]$ одинаковых чисел, что возможно только если $\[\eta _{\left( P \right)} ^3\]$ постоянное число.
Правую часть объясню по позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение, корни, приводимость и пр.
Сообщение12.11.2020, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Вернусь к объяснению первой части, так как получилось очень коряво.
(У меня нет подробных записей. Вся только контурно, пишу прямо из головы, потому и возможны бяки)
Обозначим для облегчения восприятия

$\[e^{\frac{{2\pi l}}{{P}}}  = \varphi\]$

$\[\left( {P - 1} \right)/3 = h\]$
Имеем:
$\[
\eta _{\left( P \right)} ^{\left( t \right)}  = \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k} t} }  + \varepsilon \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 1} t} }  + \varepsilon ^2 \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 2} t} } 
\]$
Рассмотрим некоторый элемент из первой группы при изоморфизме $\[t_0 \]$.
Пусть
$\[
g^{3k} t_0  \equiv g^{3m} \left( {\bmod P} \right)
\]$
$\[
t_0  \equiv g^{3m - 3k} \left( {\bmod P} \right)
\]$

тогда дугой элемент из этой группы
$\[
g^{3n} t_0  \equiv g^{3n} g^{3\left( {m - k} \right)}  \equiv g^{3\left( {n + m - k} \right)}  \equiv \left( {\bmod P} \right)
\]$
также будет принадлежать этой группе
Любой элемент из второй группе при этом же изоморфизме
$\[
g^{3r + 1} t_0  \equiv g^{3r + 1} g^{3\left( {m - k} \right)}  \equiv g^{3\left( {r + m - k} \right) + 1}  \equiv \left( {\bmod P} \right)
\]$
также будет принадлежать второй группе. Также и с третьей группой.
Т.е. общий вид выражения не изменится, только внутри групп элементы перемешаются.
Теперь, пусть при изоморфизме элемент первой группы станет элементом второй группы
$\[
g^{3k} t_0  \equiv g^{3m + 1} \left( {\bmod P} \right)
\]$
$\[
t_0  \equiv g^{3\left( {m - k} \right) + 1} \left( {\bmod P} \right)
\]$
Тогда мы увидим, что все элементы первой группы станут элементами второй группы, все элементы второй группы станут элементами третьей, а элементы третьей элементами первой.
$\[
\eta _{\left( P \right)} ^{\left( {t_0 } \right)}  = \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 2} } }  + \varepsilon \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k} } }  + \varepsilon ^2 \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 1} } }  = 
\]$
$\[
\varepsilon \left( {\varepsilon ^2 \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 2} } }  + \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k} } }  + \varepsilon \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 1} } } } \right) = \varepsilon \eta _{\left( P \right)} 
\]$
Далее
$\[
\left( {\eta _{\left( P \right)} ^{\left( {t_0 } \right)} } \right)^3  = \left( {\varepsilon \eta _{\left( P \right)} } \right)^3  = \eta _{\left( P \right)} ^3 
\]$

Таким образом, все изоморфизмы
$\[\eta _{\left( P \right)} ^3 \]$
оказались равны. А это возможно если
$\[\eta _{\left( P \right)} ^3 \]$
есть постоянная величина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение, корни, приводимость и пр.
Сообщение13.11.2020, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Перейдём к доказательству $\[
\eta _{\left( P \right)} ^3  = P\left( {a + b\varepsilon } \right)
\]$
Имеем, в связи с доказанным выше,
$\[\eta _{\left( P \right)} ^3  = m + n\varepsilon\]$, $\[m,n\]$ целые
Заметим в кольце ${\mathbb Q}(\[{e^{\frac{{2\pi l}}{P}} }\])$
$\[
P = \delta \left( {1 - e^{\frac{{2\pi l}}{P}} } \right)^{P - 1} 
\]$
где $\[\delta \]$ единица этого кольца.

Покажем, что
$\[
\eta _{\left( P \right)} ^3  \equiv 0\left( {\bmod \left( {1 - e^{\frac{{2\pi l}}{P}} } \right)} \right)
\]$

$\[
\begin{array}{l}
 \eta _{\left( P \right)}  = \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k} } }  + \varepsilon \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 1} } }  + \varepsilon ^2 \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 2} } }  \equiv \sum\limits_{k = 1}^h 1  + \varepsilon \sum\limits_{k = 1}^h 1  + \varepsilon ^2 \sum\limits_{k = 1}^h 1  \equiv  \\ 
 h\left( {1 + \varepsilon  + \varepsilon ^2 } \right) \equiv 0\left( {\bmod \left( {1 - e^{\frac{{2\pi l}}{P}} } \right)} \right) \\ 
 \end{array}
\]$

Таким образом
$\[
m + n\varepsilon  = \eta _{\left( P \right)} ^3  \equiv 0\left( {\bmod \left( {1 - e^{\frac{{2\pi l}}{P}} } \right)} \right)
\]$
А это возможно, если $m,n$ делятся на $P$
(Доказательство не сложное.)

$\[
\eta _{\left( P \right)} ^3  = P\left( {a + b\varepsilon } \right)
\]$

Остаётся показать, что
$\[
\left( {a + b\varepsilon } \right)\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right) = P
\]$
Имеем тождество
$\[
\eta _{\left( P \right)} \eta _{\left( P \right)} ' = \left( {\varsigma _1  + \varepsilon \varsigma _2  + \varepsilon ^2 \varsigma _3 } \right)\left( {\varsigma _1  + \varepsilon ^2 \varsigma _2  + \varepsilon \varsigma _3 } \right) = P
\]$
далее
$\[
\left( {\eta _{\left( P \right)} \eta _{\left( P \right)} '} \right)^3  = \left( {\eta _{\left( P \right)} } \right)^3 \left( {\eta _{\left( P \right)} '} \right)^3  = \left( {P\left( {a + b\varepsilon } \right)} \right)\left( {P\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right)} \right) = P^3 
\]$
Отсюда и
$\[
\left( {a + b\varepsilon } \right)\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right) = P
\]$
Окончательно
$\[
\eta _{\left( P \right)} ^3  = P\left( {a + b\varepsilon } \right)
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение, корни, приводимость и пр.
Сообщение14.11.2020, 17:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
$\eta _{\left( P \right)} ^3  = P\left( {a + b\varepsilon } \right)$
Число называется примарным, если оно является простым и сравнимо с 2 по модулю 3.
Покажем, что число $a + b\varepsilon$ примарное.
Так как $\[P \equiv 1\bmod 3\]$
$\[
3 = \left( {1 - \varepsilon } \right)\left( {1 - \varepsilon ^2 } \right)
\]$
Поэтому сравним по модулю $\[\left( {1 - \varepsilon } \right)\]$
$\[
\eta _{\left( P \right)}  = \varsigma _1  + \varsigma _2 \varepsilon  + \varsigma _3 \varepsilon ^2  \equiv \varsigma _1  + \varsigma _2  + \varsigma _3  =  - 1\left( {\bmod \left( {1 - \varepsilon } \right)} \right)
\]$
$\[
\eta _{\left( P \right)} ^3  = \left( {\varsigma _1  + \varsigma _2 \varepsilon  + \varsigma _3 \varepsilon ^2 } \right)^3  \equiv \left( { - 1} \right)^3  \equiv 2 \equiv a + b\varepsilon \left( {\bmod \left( {1 - \varepsilon } \right)} \right)
\]$
Следовательно, число $\[a + b\varepsilon\]$ примарное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение, корни, приводимость и пр.
Сообщение14.11.2020, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Предложение 1.
Для любого простого числа $\[\alpha  = m + n\varepsilon \]$ существует такое единственное целое число $k=0,1,2$, что $\[\varepsilon ^k \alpha\]$ примарное.
Следствие 1.
Любое число $\[\alpha  = m + n\varepsilon \]$ с целыми коэффициентами можно разложить в произведение простых примарных чисел с точностью до $\[\varepsilon ^k \]$, где $k=0,1,2$.
Здесь надо просто учесть, что $\[\varepsilon ^{3n}  = 1\]$

Предложение 2.
Пусть простое
$\[
P = \left( {a + b\varepsilon } \right)\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right)
\]$
и
$\[
\left( {m + n\varepsilon } \right)\left( {m + n\varepsilon ^2 } \right) = P^3 c
\]$
$\[m,n,c\]$ целые.
Тогда
$\[{m + n\varepsilon }\]$
делится либо на $\[P\left( {a + b\varepsilon } \right)\]$, либо на $\[\left( {a + b\varepsilon } \right)^3\]$

-- Сб ноя 14, 2020 23:21:34 --

Пусть дано
$\[x^3  + px + q = 0,D =  - 4p^3  - 27q^2  = d^2 \]$
с целыми $p,q,D,d$
Преобразуем немного формулу Кардано, с учётом того, дискриминант есть квадрат целого числа.
$\[
x = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2  + \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }} + \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2  + \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }} = 
\]$

$\[
\sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \frac{{\sqrt { - 3D} }}{{2 \cdot 3^2 }}}} + \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \frac{{\sqrt { - 3D} }}{{2 \cdot 3^2 }}}} = 
\]$

$\[
\sqrt[3]{{\frac{{ - 9q + d\sqrt { - 3} }}{{2 \cdot 3^2 }}}} + \sqrt[3]{{\frac{{ - 9q - d\sqrt { - 3} }}{{2 \cdot 3^2 }}}} = 
\]$

$\[
\frac{1}{{\sqrt[3]{{2 \cdot 9}}}}\left( {\sqrt[3]{{ - 9q + d\left( {2\varepsilon  + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{ - 9q + d\left( {2\varepsilon ^2  + 1} \right)}}} \right)
\]$

Получим
$\[
x = \frac{{\sqrt[3]{{\left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon }} + \sqrt[3]{{\left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon ^2 }}}}{{\sqrt[3]{{18}}}}
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение, корни, приводимость и пр.
Сообщение14.11.2020, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Разложим подкоренные выражения на простые множители в кольце ${\mathbb Q}\[\left( {e^{\frac{{2\pi l}}{3}} } \right)\]$.
Разложение в этом кольце однозначно с точностью до $\[
\varepsilon ,\varepsilon ^2 \]$
Каждое простое число преобразуем в примарное, в соответствии с Предложением 1.
$\[
\left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon  = \varepsilon ^k \prod\limits_{i = 1}^h {\left( {a_i  + b_i \varepsilon } \right)} 
\]$
Возможно с повторами.
Каждое примарное представим в виде
$\[
a_i  + b_i \varepsilon  = \frac{{\eta _{\left( {P_i } \right)} ^3 }}{{P_i }}
\]$
Получим:
$\[
\left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon  = \varepsilon ^k \prod\limits_{i = 1}^h {\frac{{\eta _{\left( {P_i } \right)} ^3 }}{{P_i }}} 
\]$
Аналогично и для второго выражения.
$\[
\left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon ^2  = \varepsilon ^{2k} \prod\limits_{i = 1}^h {\frac{{\eta '_{\left( {P_i } \right)} ^3 }}{{P_i }}} 
\]$
Здесь $\[\eta '_{\left( {P_i } \right)}\]$ сопряжённое $\[\eta_{\left( {P_i } \right)}\]$
Подставим полученные выражения в исходное значение, получим:
$\[
x = \frac{{\sqrt[3]{{\varepsilon ^k }}\prod\limits_{i = 1}^h {\eta _{\left( {P_i } \right)} }  + \sqrt[3]{{\varepsilon ^{2k} }}\prod\limits_{i = 1}^h {\eta '_{\left( {P_i } \right)} } }}{{\sqrt[3]{{18\prod\limits_{i = 1}^h {P_i } }}}}
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение, корни, приводимость и пр.
Сообщение15.11.2020, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Рассмотрим полученное выражение.
Так как произведение подкоренных выражений
$\[
\left( {\left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon } \right)\left( {\left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon ^2 } \right) =  - 12p^3 
\]$,
то $\[
\prod\limits_{i = 1}^h {P_i }  = c^3 
\]$
Таким образом все круговые поля участвующих в решении исходного уравнения полностью определены коэффициентом при $x$
Кроме того $\[
\sqrt[3]{{\varepsilon ^k }} = e^{\frac{{2\pi kl}}{9}}\]$
Получим:
$\[
x = \frac{1}{{c\sqrt[3]{{18}}}}\left( {e^{\frac{{2\pi kl}}{9}} \prod\limits_{i = 1}^h {\eta _{\left( {P_i } \right)} }  + e^{\frac{{4\pi kl}}{9}} \prod\limits_{i = 1}^h {\eta '_{\left( {P_i } \right)} } } \right)
\]$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group