однозначность полинома нескольких переменных

[Paul Ivanov]

По ходу введу сопутствующую терминологию (заранее приношу извинения, если что-то, уже имеющее название, назову по-своему).
Пусть имеется аффинное m-мерное пространство $\mathbb{A}$ над $\mathbb{R}$.
Далее $P_n(x)$ - полином n-й степени от m переменных-координат точки $x\in\mathbb{A}$.
Уравнение $P_n(x)=0$ задаёт некоторое множество точек в $\mathbb{A}$. Назовём его решением.
Пусть двойственное пространство - это произвольная плоскость произвольной размерности (в том числе любая одинарная точка или само пространство $\mathbb{A}$).
В Кострикине квадрика - это решение полинома 2-й степени и для него в том же Кострикине устанавливается следующее утверждение:
Если решение для $P_2(x)=0$ и $Q_2(x)=0$ совпадает, не пусто и не является двойственным пространством, то $P_2(x)=\lambda Q_2(x)$ для некоторого $\lambda\in\mathbb{R}$ (cкажем, наличие такого $\lambda$ для произвольного $n$ обозначает, что $P_n(x)$ и $Q_n(x)$ пропорциональны).
Мне показалось логичным, что такое утверждение можно распространить на все степени с одним ограничением, уравнение $P_n(x)=0$ должно быть неприводимым, то есть должно отсутствовать $Q_k(x)$ с $k<n$, такое, что решение $Q_k(x)=0$ то же самое.
Подытожу:
Верно ли для произвольного n, что если $P_n(x)=0$ и $Q_n(x)=0$ - неприводимые уравнения с общим непустым решением, не являющимся двойственным пространством, то $P_n(x)$ и $Q_n(x)$ пропорциональны?
Введённое мною требование неприводимости на мой взгляд должно однозначно положительно отвечать на этот вопрос, поэтому я пробовал доказать утверждение, а не опровергнуть.
Я почти уверен, что у меня получится доказать это, если я докажу, что если выполнены все требуемые условия, то существует такая прямая в $\mathbb{A}$, что на ней лежит ровно n различных точек решения. Но как мне удалось выяснить, это не всегда верно: контрпример - при двухмерном $\mathbb{A}$ решение уравнения $x^4-y=0$ обладает всеми требуемыми условиями, однако в нём прямой нельзя высечь даже 3-х точек.
В общем нужен какой-то идейный подход или совет, в какой слазить учебник.
Спасибо

[Padawan]

Если поле алгебраически замкнуто, то верно. Достаточно, чтобы идеалы $(p)=\{fp\mid f\in k[x]\}$ и $(q)=\{fq\mid f\in k[x]\}$ порожденные многочленами $p$ и $q$ были радикальными. По-моему для этого достаточно, чтобы каждый из многочленов $p$ и $q$ раскладывался на различные неприводимые множители (был свободен от квадратов), но я не уверен. Если множество нулей многочленов $p$ и $q$ совпадают, то $q\in I(V((p)))=\sqrt{(p)}=(p)$ и $p\in I(V((q)))=\sqrt{(q)}=(q)$ (по теореме Гильберта о нулях и радикальности). Значит, элементы $p,q$ ассоциированы, т.е. отличаются на постоянный множитель.

P.S. Вроде бы справедливо, что если $p=p_1\ldots p_k$, где $p_1,\ldots, p_k$ -- различные неприводимые многочлены, и многочлен $q$ имеет те же нули, что и $p$, то $q=p_1^{m_1}\ldots p_k^{m_k}$, где все $m_i>0$.

P.P.S. Про "двойственное пространство" ничего не понял.

[Paul Ivanov]

Padawan
1. поле не алгебраически замкнуто, а именно вещественное. (кстати с идеалами я совершенно не знаком, было бы приятно, если бы можно было обойтись без них)
2. неверно для вещественного поля, контрпример можно найти даже для одномерного $\mathbb{A}$. Пусть $p=p_1p_2p_3$, где $p_1=x^2+1, p_2=x-1, p_3=x+1$ и тогда $q=p_2p_3$ - тот самый контрпример.
3. термин "Двойственное пространство" взял из Кострикина, там он этим термином обозначает произвольную аффинную плоскость, то есть такое непустое подмножество пространства, для которого верно, что вместе с любыми двумя точками, принадлежащими подмножеству, прямая проходящая через них также принадлежит подмножеству.

[vpb]

Paul Ivanov в сообщении #1491526 писал(а):

В общем нужен какой-то идейный подход или совет, в какой слазить учебник.

А попробуйте-ка слазить в Th.Garrity, R.Belshoff, ea. Algebraic geometry: a problem solving approach. Там и про идеалы написано, и про теорему Гильберта, и про

Л.Гайдай (Бриллиантовая рука) писал(а):

кофе с какавой.

-- 11.11.2020, 00:21 --

Paul Ivanov в сообщении #1491526 писал(а):

Пусть двойственное пространство - это произвольная плоскость произвольной размерности (в том числе любая одинарная точка или само пространство $\mathbb{A}$).

Слегка удивившись такой терминологии, полез в Кострикина. Там пишется о "двойных пространствах", а не о двойственных. (В самом деле, как мы знаем из аналитической геометрии, двойная прямая --- это вырожденный частный случай коники ни плоскости.)